Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Câu I

2,0 điểm

Cho biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 1$ .

1)
Rút gọn biểu thức $P$ .
2)
Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P < 0$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai đường thẳng $(d): y = (m^2 - 3)x + 3$ và $(d'): y = 6x + m$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hai đường thẳng trên song song với nhau.
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 5y = -7 \\ x - 4y = 11 \end{cases}$

.

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $x^2 + 6x + 5 = 0$ .
2)
Cho phương trình $x^2 - x + 4m + 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn hệ thức $x_1^2 - 4x_1x_2 + 3x_2^2 = 5(x_1 - x_2)$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB$ tại $E$ , tiếp xúc với $AC$ tại $F$ . Điểm $H$ di động trên cung nhỏ $\widehat{EF}$ của đường tròn $(O)$ ; tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $I, K$ .

1)
Chứng minh $AEOF$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Chứng minh $\widehat{IOK} = \widehat{ABC}$ và hai tam giác $OIB, KOC$ đồng dạng.
3)
Giả sử $AB = 5cm, BC = 6cm$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $AIK$ .

Câu V

1,0 điểm

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{a^4(b^2 + c^2)}{b^3 + 2c^3} + \frac{b^4(c^2 + a^2)}{c^3 + 2a^3} + \frac{c^4(a^2 + b^2)}{a^3 + 2b^3}.