Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Phú Thọ

Thời gian: 120 phút
Số câu: 16 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Giá trị của biểu thức $\sqrt{25}$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle \pm 10$
D
$\displaystyle 25$

Câu 2

Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$ xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\mathbb{R}$ . Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi

A
$\displaystyle a \ge 0$
B
$\displaystyle a > 0$
C
$\displaystyle a \le 0$
D
$\displaystyle a < 0$

Câu 3

Cho đường thẳng $(d): y = x + 2$ . Đường thẳng song song với đường thẳng $(d)$ là đường thẳng

A
$\displaystyle y = -x + 2$
B
$\displaystyle y = 3x + 2$
C
$\displaystyle y = x$
D
$\displaystyle y = 2x + 1$

Câu 4

Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất

A
$\displaystyle \begin{cases} x - 2y = 1 \\ -\dfrac{1}{2}x + y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x - 2y = 2 \\ 2x - 4y = -4 \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x - 3y = 5 \\ -2x + 6y = -10 \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x - 3y = 4 \\ -2x + 3y = -5 \end{cases}$

Câu 5

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $89$ . Bình phương của tổng hai số đó bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 221$
C
$\displaystyle 441$
D
$\displaystyle 181$

Câu 6

Đồ thị hàm số $y = ax^2$ với $a$ là số thực dương có hình dạng nào dưới đây

Hình 1 - Đồ thị parabol hướng lên đỉnh tại O — Hình 1

Hình 2 - Hai đường thẳng song song với trục hoành — Hình 2

Hình 3 - Đường thẳng cắt trục tung và trục hoành — Hình 3

Hình 4 - Đồ thị parabol hướng xuống đỉnh tại O — Hình 4

A
Hình 1
B
Hình 2
C
Hình 3
D
Hình 4

Câu 7

Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình này có một nghiệm là $x_1 = -1$ , còn nghiệm kia là

A
$\displaystyle x_2 = -\dfrac{b}{a}$
B
$\displaystyle x_2 = \dfrac{b}{a}$
C
$\displaystyle x_2 = \dfrac{-c}{a}$
D
$\displaystyle x_2 = \dfrac{c}{a}$

Câu 8

Phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$ có biệt thức $\Delta$ bằng

A
$\displaystyle 17$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 8$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 2, BC = 3$ thì $\sin \widehat{ABC}$ có giá trị bằng

A
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Câu 10

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết $HB = 5, BC = 9$ . Khi đó độ dài cạnh $AC$ bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 5$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A, AB = 24cm, AC = 10cm$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

A
$\displaystyle 15cm$
B
$\displaystyle 14cm$
C
$\displaystyle 13cm$
D
$\displaystyle 12cm$

Câu 12

Cho đường tròn tâm $(O)$ có bán kính $R = 2$ . Từ điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng $4$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn đó ( $A, B$ là các tiếp điểm). Độ dài đoạn $AB$ bằng

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle \sqrt{3}$
C
$\displaystyle 2 + \sqrt{3}$
D
$\displaystyle 2\sqrt{3}$

Phần II. Tự luận7,0 điểm

Câu 1

1,5 điểm

Cho hai biểu thức $A = 2\sqrt{x} + 1$ và $B = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{x + \sqrt{x}}\right) : \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1$ .

a)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$ .
b)
Rút gọn biểu thức $B$ .
c)
Tìm $x$ để $A + B = 5$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Cho parabol $(P): y = -x^2$ và đường thẳng $(d): y = -(m + 2)x + m + 1$ (với $m$ là tham số).
1. a)
  Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(2; 0)$ .
2. b)
  Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.
2)
Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + my = 1 \\ mx - y = -m \end{cases}$

(với $m$ là tham số).
1. a)
  Giải hệ phương trình khi $m = 1$ .
2. b)
  Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $y = \sqrt{x + 1}$ .

Câu 3

3,0 điểm

Cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ ( $R$ không đổi). Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn đó ( $C$ không trùng với $A, B$ ), kẻ $CH \perp AB$ tại $H$ , kẻ $HM \perp AC$ tại $M$ , kẻ $HN \perp BC$ tại $N$ .

a)
Chứng minh rằng tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn.
b)
Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $NMC$ đồng dạng với nhau.
c)
Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $HB$ , $P$ là giao điểm của $IN$ và $KM$ . Chứng minh rằng $HP \perp MN$ .
d)
Xác định vị trí điểm $C$ để $MK^2 + NI^2$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4

0,5 điểm

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{y - 1} = \dfrac{28x + 4\sqrt{y - 1}}{27x^2 + y - 1} \\ x - 2\sqrt{2x + 3} + y + 3\sqrt{y - 1} - 1 = 0 \end{cases}$

$(x, y \in \mathbb{R})$ .

HẾT