Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Câu I

1,5 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2x + 12}{x - 9}$ (với $x \ge 0, x \ne 9$ ).

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 13 - 4\sqrt{3}$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $(x - 1)(x + 2) = 10$ .
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x}{x - 2} + 2y = 5 \\ \dfrac{x - 1}{x - 2} - y = 1 \end{cases}$

.

Câu III

1,5 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = (m - 2)x + 2m$ (với $m$ là tham số).

1)
Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ .
2)
Tìm điều kiện của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}(2 - x_{2}) - 2024 \le 2(2 - x_{2})$ .

Câu IV

1,0 điểm

Một phòng họp có $255$ ghế được xếp thành từng hàng, các hàng có số ghế bằng nhau. Tại phòng họp đó có $320$ người đến dự họp, do đó người ta kê thêm $1$ hàng ghế có số ghế như các hàng ban đầu; sau đó mỗi hàng ghế xếp thêm $3$ ghế thì vừa đủ chỗ ngồi cho người dự họp. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế? (biết các ghế là như nhau và mỗi ghế chỉ một người ngồi).

Câu V

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$ . Kẻ tia $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ . Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $CA > R$ . Kẻ tiếp tuyến $CD$ của $(O)$ ( $D$ là tiếp điểm, $D$ khác $A$ ). Đường thẳng $CB$ cắt $(O)$ tại điểm $M$ ( $M$ khác $B$ ).

1)
Chứng minh tứ giác $ACDO$ nội tiếp đường tròn.
2)
Chứng minh hai đường thẳng $BD$ và $OC$ song song với nhau.
3)
Khi $AC = \dfrac{3R}{2}$ , tính độ dài đoạn thẳng $MD$ theo $R$ .
4)
Gọi $I$ là trung điểm của $BM$ ; $E, K, F$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $AD$ và $OI$ , $ME$ và $AC$ , $CD$ và $BE$ . Chứng minh ba đường thẳng $AD, BC, KF$ đồng quy tại một điểm.

Câu VI

0,5 điểm

Cho các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $x + y \le 5$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{4}{xy} + \dfrac{9}{x + 2y + 1}$ .