Đăng nhập

Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2025 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Thời gian
120 phút
Số câu
15 câu
Đáp án
Có đáp án
Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 10 câu · 2,0 điểm
Phần B. Tự luận — 5 câu · 8,0 điểm

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn2,0 điểm

Câu 1

Gọi (a;b)(a; b) là nghiệm của hệ phương trình {x−2y=1x+4y=m\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 4y = m \end{cases} (mm là tham số). Biết a+b=1a + b = 1, giá trị của mm là:

  1. A

    2\displaystyle 2

  2. B

    32\displaystyle \frac{3}{2}

  3. C

    12\displaystyle \frac{1}{2}

  4. D

    1\displaystyle 1

Câu 2

Tập xác định của biểu thức 1x−∣x∣\frac{1}{x - |x|} là:

  1. A

    x≥0\displaystyle x \ge 0

  2. B

    x≠0\displaystyle x \ne 0

  3. C

    x<0\displaystyle x < 0

  4. D

    x≠0,x≠1\displaystyle x \ne 0, x \ne 1

Câu 3

Số nghiệm của phương trình x4−1x+1=0\frac{x^4 - 1}{x + 1} = 0 là:

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    3\displaystyle 3

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 4

Biểu thức 6−2(3+1)\sqrt{6 - 2(\sqrt{3} + 1)} bằng:

  1. A

    3+1\displaystyle \sqrt{3} + 1

  2. B

    3−1\displaystyle \sqrt{3} - 1

  3. C

    3+2\displaystyle \sqrt{3} + 2

  4. D

    2−3\displaystyle 2 - \sqrt{3}

Câu 5

Biết phương trình x2−mx−2=0x^2 - mx - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1x_1 và x2x_2. Giá trị của 1x1+1x2\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} là:

  1. A

    m2\displaystyle \frac{m}{2}

  2. B

    m\displaystyle m

  3. C

    −m2\displaystyle \frac{-m}{2}

  4. D

    −m\displaystyle -m

Câu 6

Cho hình thang ABCDABCD có đáy nhỏ AB=2AB = 2 và đáy lớn CD=5CD = 5. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC,BDAC, BD. Khi đó, MNMN bằng:

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    32\displaystyle \frac{3}{2}

  3. C

    2\displaystyle 2

  4. D

    52\displaystyle \frac{5}{2}

Câu 7

Ký hiệu R,rR, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác đều ABCABC. Tỉ số Rr\frac{R}{r} bằng:

  1. A

    2\displaystyle 2

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    23\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}

  4. D

    3\displaystyle \sqrt{3}

Câu 8

Tổng 16+7+17+8\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{8}} bằng:

  1. A

    2−3\displaystyle 2 - \sqrt{3}

  2. B

    22+3\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{3}}

  3. C

    2−1\displaystyle \sqrt{2} - 1

  4. D

    12−3\displaystyle \frac{1}{2 - \sqrt{3}}

Câu 9

Trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy cho hai đường thẳng d1:y=x+1d_1: y = x + 1 và d2:y=2x−2d_2: y = 2x - 2. Gọi MM là giao điểm của d1d_1 và d2d_2. Đoạn OMOM bằng:

  1. A

    32\displaystyle 3\sqrt{2}

  2. B

    4\displaystyle 4

  3. C

    13\displaystyle \sqrt{13}

  4. D

    5\displaystyle 5

Câu 10

Cho ΔABC\Delta ABC vuông tại AA có DD là chân đường cao kẻ từ AA (D∈BC)(D \in BC) và II là trung điểm BCBC. Đẳng thức nào sau đây không đúng?

  1. A

    BA2=2BD.BI\displaystyle BA^2 = 2BD.BI

  2. B

    DA2=2DB.DC\displaystyle DA^2 = 2DB.DC

  3. C

    AB.AC=AD.BC\displaystyle AB.AC = AD.BC

  4. D

    IA2=IB.IA\displaystyle IA^2 = IB.IA

Phần B. Tự luận8,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Cho A=x+4x−4−xx+2A = \dfrac{x+4}{x-4} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} và B=x+2x−2x−1x+x−4x−2B = \dfrac{\sqrt{x}+2}{x-2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2} với x>0,x≠4x > 0, x \neq 4.

  1. a)

    Chứng minh A.(x−2)A.(\sqrt{x} - 2) không phụ thuộc vào giá trị của xx.

  2. b)

    Tìm xx để A.B=x+1A.B = \sqrt{x} + 1.

Câu 2

1,5 điểm
  1. a)

    Cho f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b. Biết đồ thị y=f(x)y = f(x) đi qua hai điểm (2;10)(2; 10) và (5;25)(5; 25). Tính f(0)f(0).

  2. b)

    Cho ΔABC\Delta ABC vuông tại AA có AB=3,AC=4AB = 3, AC = 4. Lấy điểm EE trên cạnh ACAC và gọi FF là hình chiếu của EE lên BCBC. Xác định độ dài ECEC để diện tích tứ giác ABFEABFE bằng 23\dfrac{2}{3} diện tích tam giác ABCABC.

Câu 3

1,5 điểm
  1. a)

    Giải phương trình: 2(x+1)+1x−1+2x−2=02(x + 1) + \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2}{x-2} = 0.

  2. b)

    Tìm mm để phương trình 2x2−2x−m=02x^2 - 2x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1, x_2 và thỏa mãn: m+2x1−x12+m+2x2−x22=2\sqrt{m + 2x_1 - x_1^2} + \sqrt{m + 2x_2 - x_2^2} = 2.

Câu 4

1,5 điểm

Hằng năm, Trường X tổ chức một kỳ thi học sinh giỏi gồm hai môn Toán và Văn. Mỗi học sinh tham gia kỳ thi có thể dự thi một trong hai môn hoặc cả hai môn. Năm ngoái, số học sinh dự thi môn Toán nhiều hơn 100 em so với số học sinh dự thi môn Văn. So với năm ngoái, năm nay số học sinh dự thi môn Văn tăng 10% và số học sinh dự thi môn Toán tăng 20%. Biết năm nay số học sinh dự thi môn Toán nhiều hơn 150 em so với số học sinh dự thi môn Văn.

  1. a)

    Tìm số học sinh dự thi môn Toán và số học sinh dự thi môn Văn trong năm nay.

  2. b)

    Biết năm nay số học sinh dự thi môn Toán bằng 60% tổng số học sinh tham gia kỳ thi. Tìm số học sinh dự thi cả hai môn trong năm nay.

Câu 5

2,5 điểm

Cho ΔABC\Delta ABC nội tiếp đường tròn (O)(O) có AB<ACAB < AC. Gọi HH là trực tâm; D,E,FD, E, F lần lượt là chân các đường cao trên BC,CA,ABBC, CA, AB; II là trung điểm BCBC và KK là giao điểm của ADAD với (O)(O) (K≠A)(K \neq A).

  1. a)

    Chứng minh tứ giác BCEFBCEF nội tiếp và: BIF^=2BCF^,CIE^=2CBE^\widehat{BIF} = 2\widehat{BCF}, \widehat{CIE} = 2\widehat{CBE}.

  2. b)

    Gọi SS là giao điểm của EFEF với BCBC. Chứng minh tứ giác DIEFDIEF nội tiếp và: SD.SI=SB.SCSD.SI = SB.SC.

  3. c)

    Gọi RR là giao điểm của SKSK với (O)(O) (R≠K)(R \neq K) và LL là giao điểm của RIRI với (O)(O) (L≠R)(L \neq R). Chứng minh ALAL song song với BCBC và AB.CR=AC.BRAB.CR = AC.BR.

HẾT
Đăng nhập để làm bài