Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Lai Châu

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x} + x}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{x + 2\sqrt{x} - 3}{x - 1}\right)\left(\dfrac{x - 1}{x\sqrt{x} - x + 4\sqrt{x}}\right),\ (x > 0,\ x \neq 1).$ Rút gọn $P$ và tìm $x$ thỏa mãn $(x - \sqrt{x} - 3) \cdot P = 1.$
b)
Một hộp chứa 9 quả bóng màu cam và một số quả bóng màu trắng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Biết xác suất của biến cố: “Lấy được quả bóng màu trắng” là $\dfrac{2}{5}.$ Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng màu trắng?

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^4 - 2x^3 + x - \sqrt{2(x^2 - x)} = 0.$
b)
Cho $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = -4x + m^2 - 4.$ Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$ thỏa mãn $x_2 = x_1^3 + 4x_1^2.$

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $x^2 + xy + y^2 = x^2y^2.$
b)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 12(a^2 + b^2 + c^2) + \dfrac{4(ab + bc + ca)}{a^2 + b^2 + c^2} + 2026.$

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC.$ Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường cao $BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ và cắt đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M, N.$

a)
Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp.
b)
Chứng minh $EF \parallel MN$ và $EF \perp OA.$
c)
Giả sử đường tròn $(O)$ và dây $BC$ cố định, xác định vị trí điểm $A$ trên cung lớn $BC$ để diện tích tam giác $AEH$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5

1,0 điểm

Số nguyên dương có bốn chữ số trên bảng có thể biến đổi thành một số có bốn chữ số khác theo quy tắc sau: Hoặc cộng thêm 1 vào hai chữ số liền tiếp của nó nếu hai chữ số này đều không bằng 9, hoặc trừ đi 1 từ hai chữ số liền tiếp của nó nếu hai chữ số này đều không bằng 0. Hỏi bằng các phép biến đổi như vậy, có thể thu được số 1000 từ số 2026 hay không?