Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2026 — Trường THPT Chuyên Khoa học Huế, Đại học Huế

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $P(x)=\dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1},\ x>0,\ x \neq 1.$

a)
Rút gọn biểu thức $P(x).$
b)
Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức $Q(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{P(x)}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 2

2,0 điểm

2.1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 4x^{2}+y(2x+y-4)=-1\\ (2x+y-2)(4x^{2}+1)=y \end{cases}$
2.2)
Cho phương trình $x^{2}-(m-1)x-m^{2}+m-2=0\ (1)$ ( $x$ là ẩn số, $m$ là tham số).
1. a)
  Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}.$
2. b)
  Tìm giá trị tham số $m$ để $Q=\left(\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{3}+\left(\dfrac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{3}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3

1,5 điểm

3.1)
Chứng minh rằng $\left(3+3^{3}+3^{5}+\ldots+3^{2n-1}\right) \vdots 30$ với mọi $n$ chẵn.
3.2)
Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương. Chứng minh rằng
$\sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}+\sqrt{\dfrac{b^{3}}{b^{3}+(c+a)^{3}}}+\sqrt{\dfrac{c^{3}}{c^{3}+(a+b)^{3}}} \geq 1.$

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB.$ Trên nửa mặt phẳng bờ $AB,$ vẽ các tiếp tuyến $Ax, By$ của $(O).$ Trên $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $CA < CB$ và trên đoạn thẳng $OA$ lấy điểm $D$ ( $D$ khác $O, A$ ). Đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $C$ cắt $Ax, By$ lần lượt tại $E, F.$ Gọi $G$ là giao điểm của $AC$ và $DE,$ $H$ là giao điểm của $BC$ và $DF,$ $I$ là giao điểm của $OC$ và $GH.$

a)
Chứng minh $\widehat{EDF}=90^{\circ}.$
b)
Gọi $J, K$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF.$ Chứng minh $I, J, K$ thẳng hàng.
c)
Gọi $M$ là giao điểm của $JO$ và $DK.$ Chứng minh ba đường thẳng $ED, IM, KO$ đồng quy.

Câu 5

1,5 điểm

5.1)
Gọi $A$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(10)=126$ . Chọn ngẫu nhiên một đa thức $P(x)$ từ tập $A$ . Tính xác suất để đa thức được chọn có nghiệm nguyên.
5.2)
Cho tập hợp $B = \{1; 2; 3; ...; 17\}$ . Một tập hợp $X \subset B$ được gọi là tập “đặc biệt” nếu không tồn tại hai phần tử phân biệt $a, b \in X$ sao cho $a + b$ chia hết cho $7$ .
1. a)
  Hãy tìm một tập “đặc biệt” có đúng 6 phần tử.
2. b)
  Chứng minh mỗi tập “đặc biệt” có tối đa 10 phần tử.