Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

1,75 điểm

a)
Cho biểu thức $P = \dfrac{x}{x - \sqrt{x} + 1} - \dfrac{2x - \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ , với $x \ge 0, x \ne 1$ . Rút gọn biểu thức $P$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P > 4$ .
b)
Một cây cầu treo dài $200\text{m}$ có bề mặt cầu nằm ngang, hai trụ $ME, NF$ đặt tại hai đầu cầu, cùng vuông góc với $MN$ , $ME = NF = 35\text{m}$ . Một dây cáp treo có dạng parabol $y = ax^2$ $(a > 0)$ có đỉnh là $O$ , đi qua các điểm $E, F$ . Người ta dùng các đoạn dây vuông góc với $MN$ để nối các điểm trên cầu với dây cáp treo, trong đó có đoạn dây $IO$ dài $5\text{m}$ , với $I$ là điểm chính giữa cầu. Hãy tính độ dài đoạn dây $AB$ , biết $AN = 40\text{m}$ (xem Hình 1).
Hình 1

Câu 2

1,5 điểm

a)
Giải phương trình $2x - 1 = \dfrac{6x^2 - 3x}{\sqrt{6x^2 - x - 1} + \sqrt{2x - 1}}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^2 + (1 - \sqrt{y + 1})x = 2\sqrt{y + 1} + 2 \\ x + y + 1 = \dfrac{6}{\sqrt{y + 1} + 1} \end{cases}$

Câu 3

0,75 điểm

Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi chọn thẻ từ hai hộp kín như sau: An chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp (I) chứa ba thẻ được đánh số $1; 2; 3$ và Bình chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp (II) chứa bốn thẻ được đánh số $1; 2; 3; 4$ . Bạn nào chọn được thẻ có số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất của biến cố $A$ : “Bạn An là người thắng cuộc”.

Câu 4

2,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ có hai đường cao $AD$ , $BE$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ , kẻ $HK$ vuông góc với $AI$ $(K \in AI)$ . Trên tia đối của tia $KH$ lấy điểm $M$ sao cho $IM = IC$ . Gọi $N$ là giao điểm của hai tia $BE$ và $CM$ . Trên tia đối của tia $IE$ lấy điểm $P$ sao cho $IP = IE$ . Chứng minh rằng:

a)
Hai góc $EAK$ và $EHK$ bằng nhau
b)
Hai tam giác $BMP$ và $NME$ đồng dạng
c)
$AM$ vuông góc với $IM$

Câu 5

2,0 điểm

Cho đường tròn tâm $O$ có dây $BC$ cố định ( $BC$ không phải đường kính), điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn và $AB \neq AC$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ , $K$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ . Đoạn thẳng $AK$ cắt $BC$ tại $E$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ ( $D$ khác $A$ ), gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$ . Kẻ $KM$ vuông góc với $AB$ tại $M$ và $KN$ vuông góc với $AC$ tại $N$ . Chứng minh rằng:

a)
Tia $FK$ là tia phân giác của góc $BFC$ ;
b)
$KA \cdot KD = KE \cdot KF$ ;
c)
Khi điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 6

1,0 điểm

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^2 = y^2 + 140$ .

Câu 7

1,0 điểm

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^2 y^2}{(x^2 + y^2)z} + \frac{y^2 z^2}{(y^2 + z^2)x} + \frac{z^2 x^2}{(z^2 + x^2)y}$ .