Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Phú Yên

Câu 1

5,0 điểm

a)
Biết $x = \sqrt{2} + 1$ , tính $A = \sqrt{\sqrt{2}(x+1)(x^2+1)(x^4+1) + x - \sqrt{2}}$ .
b)
Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{9} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$ .
c)
Cho biết $\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right) = 1, \forall x, y \in \mathbb{R}$ . Tính $x + y$ .

Câu 2

3,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC < BC)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ với các tiếp điểm trên $BC$ , $CA$ , $AB$ lần lượt là $D$ , $E$ , $F$ . Gọi $G$ và $H$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $B$ và $C$ xuống $CI$ và $BI$ . Chứng minh rằng:

a)
Tứ giác $BGED$ là hình thang.
b)
Tứ giác $BGFD$ nội tiếp.
c)
Các điểm $E$ , $F$ , $G$ , $H$ thẳng hàng.

Câu 3

4,5 điểm

a)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} |x - y| = 4 \\ |x^2 - y^2| + |x + y| = 10 \end{cases}$
b)
Không giải phương trình, tìm $M^2$ với $M$ là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các nghiệm của phương trình: $x = \sqrt{3} + \dfrac{7}{\sqrt{3} + \dfrac{7}{\sqrt{3} + \dfrac{7}{x}}}$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , có đường cao $AH$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AH$ ; $E$ , $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $BM$ , $AC$ . Đường thẳng $CE$ cắt các đường thẳng $HF$ và $BF$ lần lượt tại $G$ và $K$ . Chứng minh rằng:

a)
$BEC = HEA$ .
b)
$AG$ vuông góc với $BF$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $xy \le \dfrac{1}{4}$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{2}{1 + 2\sqrt{xy}} \ge \dfrac{1}{1 + 2x} + \dfrac{1}{1 + 2y}$ .

Câu 6

2,0 điểm

Hãy xác định $n$ số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tổng của $n$ số đó bằng $2024$ .