Đề thi SPT môn Toán năm 2025 — Trường Đại học Sư phạm Hà NộiMã đề 056

Thời gian: 90 phút
Số câu: 25 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 16 câu · 4,0 điểm

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 2 câu · 2,0 điểm

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 4 câu · 1,0 điểm

Phần IV. Tự luận — 3 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn4,0 điểm

Câu 1

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + m}{x - 1}$ có tiệm cận đứng. Khi đó tập hợp $S$ bằng

A
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{1\}$
B
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{0\}$
C
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
D
$\displaystyle \mathbb{R}$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là tứ giác lồi, $AC = 2a, BD = 3a, AC \perp BD$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ . Biết góc $\alpha$ giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy thỏa mãn $\cot \alpha = 3$ . Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A
$\displaystyle \frac{a^3}{12}$
B
$\displaystyle \frac{a^3}{3}$
C
$\displaystyle \frac{a^3}{4}$
D
$\displaystyle \frac{2a^3}{3}$

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ và $SA = SC, SB = SD$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle SO \perp (ABCD)$
B
$\displaystyle AD \perp (SAB)$
C
$\displaystyle SA \perp AC$
D
$\displaystyle SA \perp BC$

Câu 4

Tổng các nghiệm của phương trình $e^{x^2} = e^{3x - 2}$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 3$

Câu 5

Bạn Minh định làm một vật thể có dạng hình trụ tròn xoay với bán kính đáy bằng $2$ cm sao cho diện tích xung quanh của hình trụ bằng tổng diện tích hai mặt đáy của nó. Thể tích của khối trụ này bằng

A
$\displaystyle 4\pi \text{ cm}^3$
B
$\displaystyle 6\pi \text{ cm}^3$
C
$\displaystyle 8\pi \text{ cm}^3$
D
$\displaystyle 16\pi \text{ cm}^3$

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(-1;3;4)$ . Gọi $A, B, C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M(-1;3;4)$ trên các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ . Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là

A
$\displaystyle \frac{x}{-1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 0$
B
$\displaystyle \frac{x}{-1} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1$
C
$\displaystyle \frac{x}{1} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1$
D
$\displaystyle \frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1$

Câu 7

Cho hàm số $f(x) = xe^{-2x}$ . Tập nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ là

A
$\displaystyle \{1\}$
B
$\displaystyle \left\{\frac{1}{2}\right\}$
C
$\displaystyle \{0\}$
D
$\displaystyle \left\{\frac{-1}{2}\right\}$

Câu 8

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 2025$ , công bội $q$ . Đặt $S = 4u_2 + 5u_3$ . Để $S$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $q$ là

A
$\displaystyle -2025$
B
$\displaystyle \frac{4}{5}$
C
$\displaystyle \frac{2}{5}$
D
$\displaystyle \frac{-2}{5}$

Câu 9

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_2(x-1) < -1$ là

A
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$
B
$\displaystyle (1; +\infty)$
C
$\displaystyle \left(1; \frac{3}{2}\right)$
D
$\displaystyle \left(-\infty; \frac{3}{2}\right)$

Câu 10

Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là $S_1 = 10$ và $S_2 = 3$ . Giá trị của $\int_{-1}^{2} f(x) dx$ bằng

Đồ thị hàm số y = f(x) với hai phần tô đậm S1 từ -1 đến 1 phía trên trục hoành và S2 từ 1 đến 2 phía dưới trục hoành

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle -7$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 13$

Câu 11

Phương trình $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$ có tập nghiệm là

A
$\displaystyle \left\{\frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
B
$\displaystyle \left\{\frac{5\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
C
$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{3} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
D
$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 12

Xét hai biến cố độc lập $A, B$ thỏa mãn $P(A) = 0,2$ và $P(B) = 0,3$ . Xác suất của biến cố $A \cup \overline{B}$ bằng

A
$\displaystyle 0,14$
B
$\displaystyle 0,44$
C
$\displaystyle 0,76$
D
$\displaystyle 0,9$

Câu 13

Biểu đồ dưới đây thể hiện chi phí hoạt động của 4 công ty A, B, C, D cho ba hạng mục: Nhân sự, đầu tư và vận hành trong năm 2024 (đơn vị: tỉ đồng).

Biểu đồ cột thể hiện chi phí hoạt động của 4 công ty A, B, C, D cho ba hạng mục Nhân sự, Đầu tư và Vận hành trong năm 2024

Chọn ngẫu nhiên một công ty trong các công ty đó. Xác suất để công ty được chọn ra có chi phí trung bình của ba hạng mục lớn hơn 154 tỉ đồng là

A
$\displaystyle \frac{1}{4}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2}$
C
$\displaystyle \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$

Câu 14

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (1;2)$
B
$\displaystyle (-\infty;1)$
C
$\displaystyle (0;1)$
D
$\displaystyle (-1;0)$

Câu 15

Giá trị của $m$ để hai mặt phẳng $(\alpha): 7x - 3y + mz - 5 = 0$ và $(\beta): x - 3y + 4z + 1 = 0$ vuông góc với nhau là

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle -4$
D
$\displaystyle 4$

Câu 16

Hàm số $f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ có một nguyên hàm là

A
$\displaystyle F_{1}(x) = \frac{2}{x^{3}}$
B
$\displaystyle F_{3}(x) = x + \frac{2}{x^{3}}$
C
$\displaystyle F_{4}(x) = \frac{1}{x}$
D
$\displaystyle F_{2}(x) = x + \frac{1}{x}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai2,0 điểm

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có hai trạm phát sóng wifi với ranh giới vùng phủ sóng của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu

$(S_{1}): (x-5)^{2} + (y+6)^{2} + (z-15)^{2} = 22.725; (S_{2}): (x-1005)^{2} + (y-219)^{2} + (z-15)^{2} = 22.725.$

Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ , đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.

a)
Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ nhất là hình tròn $(C_{1})$ có bán kính bằng $150$ m
b)
Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ hai là hình tròn $(C_{2})$ có bán kính bằng $150$ m
c)
Khoảng cách giữa tâm của hình tròn $(C_{1})$ và tâm của hình tròn $(C_{2})$ bằng $1020$ m
d)
Giả sử có một thiết bị (coi như một điểm) di chuyển trên mặt đất với tốc độ $1,5$ m/giây. Thời gian ít nhất cần phải có để thiết bị đó di chuyển trên mặt đất từ một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ nhất đến một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ hai là $480$ giây.

Câu 2

Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính $AB = 6$ cm và một dây cung $CD$ song song với $AB$ . Quay hình thang $ABDC$ quanh đường thẳng $AB$ để tạo thành chi tiết máy có dạng khối tròn xoay.

Xét hệ tọa độ $Oxy$ với $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử $D(a; b)$ với $0 < a < 3$ .

Hình minh họa nửa đường tròn đường kính AB và hình thang ABDC trong hệ tọa độ Oxy

a)
Ta có $a^{2} + b^{2} = 9$
b)
Phương trình đường thẳng $BD$ là $y = \frac{b}{a-3}(x-3)$
c)
Thể tích chi tiết máy là $V = \pi \left( \int_{0}^{a} b^{2} dx + \int_{a}^{3} \frac{b^{2}}{(a-3)^{2}}(x-3)^{2} dx \right) (\text{cm}^{3})$
d)
Khi dây cung $CD$ thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn $85$ cm $^{3}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn1,0 điểm

Câu 1

Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên dương khác nhau đôi một không vượt quá 12. Hỏi xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh của một tam giác bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 12y + 6z + 24 = 0$ . Xét hai điểm $M, N$ thuộc $(S)$ sao cho $MN = 8$ và $ON^2 - OM^2 = 112$ . Hỏi khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng $40 \text{ cm}^3$ . Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích của tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Câu 4

Bác Dũng gửi tiết kiệm vào một tài khoản ngân hàng theo kì hạn 1 tháng. Biết rằng số tiền trong tài khoản sau $x$ tháng $(x \in \mathbb{N}^*)$ được tính bằng công thức $f(x) = 50.(1,004)^x$ (triệu đồng) và bác Dũng không rút tiền khỏi ngân hàng trong suốt quá trình gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, số tiền trong tài khoản đó của bác Dũng vượt quá 52 triệu đồng?

Trả lời:

Phần IV. Tự luận3,0 điểm

Câu 5

1,0 điểm

Một trường học có $60\%$ học sinh là nữ, $40\%$ học sinh là nam. Sau khi thống kê kết quả học tập cuối năm, người ta thấy rằng trong số học sinh nữ có $45\%$ đạt kết quả học tập xếp loại tốt, trong số học sinh nam có $40\%$ đạt kết quả học tập xếp loại tốt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. Tính xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó đạt kết quả học tập xếp loại tốt (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6

1,0 điểm

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ , $\widehat{BAD} = 120^{\circ}$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{\circ}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ .

Câu 7

1,0 điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ được cho bởi hình bên.

Giả sử $f'(x) > x + 2, \forall x \in (-2;0)$ và $f'(x) < x + 2, \forall x \in (0;1) \cup (1;3)$ .

Xét hàm số $g(x) = 2f(x) - (x + 2)^2, x \in [-2;3]$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$ trên đoạn $[-2;3]$ , biết rằng $f(-2) = 1$ .

HẾT