Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 Toán 11 lần thứ XXIX, năm 2025 — Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM

Giải hệ phương trình

Ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Đặt

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng $4 \times 4$ mỗi ô một số trong tập hợp $\{1,2,\dots,n\}$ sao cho mỗi số $1,2,\dots,n$ đều có mặt trong bảng, đồng thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau $1$ đơn vị.

Gọi $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a! + 2 \cdot (b!) = a^{2b}$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M, N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC, CA$ và $AB$. Gọi $X, Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $BC, CA, AB$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $XYZ$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M, N, P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $YZ, ZX, XY$.