Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 Toán 10 lần thứ XXIX, năm 2025 — Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM

Cho các số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{30}, b_1, b_2, \ldots, b_{30}$ thỏa mãn $a_i \neq 0$ với mọi $i = 1, \ldots, 30$. Hỏi phương trình:

có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $|x| \le 3, |y| \le 3$. Chứng minh rằng:

Các số thực dương $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ được viết trên một vòng tròn theo thứ tự đó. Biết rằng mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước nó: với mọi $1 \le i \le 100$ thì $a_i a_{i+1} < a_{i+2}$ (ta quy ước $a_{101} = a_1, a_{102} = a_2$). Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong các số $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$?

Cho các số nguyên dương $a, b$ với $a > b$. Biết rằng $a^3 - b^3$ là một ước của $ab(a^2 - b^2)$. Chứng minh rằng $(a - b)^3 > 3ab$.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $P$, các đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Q$. Gọi $M$ và $N$ tương ứng là trung điểm của $AD$ và $BC$. Ký hiệu $(L)$ và $(K)$ tương ứng là đường tròn ngoại tiếp tam giác $QAD$ và tam giác $QBC$. Đường thẳng $MQ$ cắt lại $(K)$ tại điểm $E$ (khác $Q$), đường thẳng $NQ$ cắt lại $(L)$ tại điểm $F$ (khác $Q$).