Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2024–2025 — Trường THPT Phú Xuyên B, Hà Nội

Câu I

5,0 điểm

1)
Cho hai tập hợp $A = (-\infty; m]$ , $B = [3 - m; 10)$
1. a)
  Với $m = 4$ , tìm $A \cap B$
2. b)
  Tìm $m$ để $B \setminus A$ có ít nhất 5 số nguyên.
2)
Mỗi học sinh của lớp $10A_1$ đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp $10A_1$ có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

4,0 điểm

1)
Trên đoạn $[-9; 10]$ có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $x - y + 2m - 1 \le 0$ với mọi $x$ và $y$ thoả mãn hệ
$\begin{cases} y - 2x \le 2 \\ 2y - x \ge 4 \\ x + y \le 5 \end{cases}$
2)
Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$ . Trong đó xe loại $A$ có 10 chiếc, xe loại $B$ có 9 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 4 triệu, loại $B$ giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe $A$ chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe $B$ chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

5,0 điểm

1)
Chứng minh rằng với tam giác $ABC$ bất kì, ta có: $\sin C = \sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A$
2)
Cho tam giác $ABC$ có $a = 2b \cdot \cos C$ và $\dfrac{a^3 + c^3 - b^3}{a + c - b} = b^2$ . Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác đều
3)
Cho tam giác $ABC$ có $2a + 2b + 2c = 3(2 + \sqrt{6} + \sqrt{2})$ , $A = 60^0$ , $C = 45^0$ . Tìm $a, b, c$

4,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm. Gọi $E$ là trung điểm của $AG$ . Tìm hai số $m$ và $n$ sao cho $\overrightarrow{CE} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{MG}$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(2; 1)$ , $B(0; -2)$ và trực tâm $H(-16; 10)$ . Tìm tọa độ điểm $C$

2,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ đều tâm $O$ . Lấy $M$ tùy ý nằm trong tam giác $ABC$ . Gọi $F, D, E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB, BC, CA$ . Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}$
2)
Cho đường tròn tâm $O$ , bán kính $R = 5$ , $M$ là điểm cố định cách $O$ một đoạn bằng 7. Gọi $d$ là đường thẳng thay đổi luôn đi qua $M$ và cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Tính $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$