Đề thi khảo sát năng lực Toán 9 (Toán chung) đợt 2 năm 2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Giải phương trình
$\frac{x^{2} + 6x + 5}{\sqrt{x^{2} + 3}} = 3\sqrt{3x + 1}.$
2)
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x^{3} + x^{2}y + x + y = 20\\ xy(x^{2} + 1) + 4x^{2} = 36. \end{array} \right.$

Câu II

3,0 điểm

1)
Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thoả mãn
$x^{3} - y^{3} = 2xy + 1.$
2)
Với các số thực dương $a, b$ có tổng bằng 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P = \frac{a^{3}}{b(a^{3} + b)} + \frac{b^{3}}{a(b^{3} + a)}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ , với đường kính $AX$ . $M$ là trung điểm $BC$ . Trên đoạn thẳng $AM$ lấy điểm $P$ sao cho $\widehat{BPC} = 90^{\circ}$ . Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AP$ cắt $XB$ , $XC$ theo thứ tự tại $E, F$ . Gọi $N$ là trung điểm của $EF$ , $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$ .

1)
Chứng minh rằng $\widehat{EAB} + \widehat{FAC} = 90^{\circ}$ .
2)
Chứng minh rằng $XN \perp BC$ .
3)
Chứng minh rằng $\widehat{EDF} = 90^{\circ}$ .

Câu IV

1,0 điểm

Một chiếc bánh sinh nhật được cắt thành 9 phần (khối lượng mỗi phần có thể khác nhau). Chứng minh rằng ta luôn có thể chọn được một phần và cắt nó thành 2 phần mới sao cho với 10 phần bánh đó có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm 5 phần, mà tổng khối lượng hai nhóm này bằng nhau.

HẾT