Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2025–2026 — Trường THPT Vĩnh Lộc, Thanh HóaMã đề 121

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

A
$\displaystyle y = -x^{3} + 3x - 1$
B
$\displaystyle y = x^{4} - 2x^{2} - 2$
C
$\displaystyle y = x^{3} - x + 2$
D
$\displaystyle y = x^{3} - x - 2$

Câu 2

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 26; |\vec{b}| = 28; |\vec{a} + \vec{b}| = 48$ . Độ dài vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ bằng?

A
$\displaystyle 25$
B
$\displaystyle \sqrt{616}$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle \sqrt{618}$

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(-1;2;4)$ , $B(-1;1;4)$ , $C(0;0;4)$ . Tìm số đo của góc $\widehat{ABC}$ .

A
$\displaystyle 60^{\circ}$
B
$\displaystyle 135^{\circ}$
C
$\displaystyle 120^{\circ}$
D
$\displaystyle 45^{\circ}$

Câu 4

Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 12 của một trường THPT, ta có bảng số liệu sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao (cm)} & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 10 & 16 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}}

Cỡ của mẫu số liệu là

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 30$
C
$\displaystyle 40$
D
$\displaystyle 175$

Câu 5

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x - 4\cos x + 1$ . Tính tổng $M + m$ .

A
$\displaystyle 12$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 6

Giá trị của $\lim\left(2n - \sqrt{n^{3} + 2n - 2}\right)$ là.

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -1$
C
Không tồn tại
D
$\displaystyle -\infty$

Câu 7

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$ là

Câu 8

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \vec{u}$ , $\overrightarrow{CA'} = \vec{v}$ , $\overrightarrow{BD'} = \vec{x}$ , $\overrightarrow{DB'} = \vec{y}$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = -\dfrac{1}{4}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
B
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = -\dfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
C
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
D
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{4}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$

Câu 9

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;-1)$ , $B(-1;1;0)$ , $C(1;0;1)$ . Tìm điểm $M$ sao cho $3MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A
$\displaystyle M\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$
B
$\displaystyle M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2\right)$
C
$\displaystyle M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2};-1\right)$
D
$\displaystyle M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$

Câu 10

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Quãng đường (km)} & [2,7; 3,0) & [3,0; 3,3) & [3,3; 3,6) & [3,6; 3,9) & [3,9; 4,2) \\ \hline \text{Số ngày} & 3 & 6 & 5 & 4 & 2 \\ \hline \end{array}}

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A
0,9
B
0,975
C
0,5
D
0,575

Câu 11

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sqrt{6-2(m+1)\cos^2 x + m(\sin x - \cos x)^2}}$ . Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho xác định trên $R$ là $m \in (a;b)$ . Tính $a^2 - b^2$ .

A
$\displaystyle -7$
B
25
C
11
D
7

Câu 12

Tính tổng các nghiệm thực của phương trình $\log_5(2.5^x - 1) + 1 = 2x$

A
6
B
1
C
0
D
$\displaystyle \log_5 3$

Câu 13

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

A
40 m
B
70 m
C
50 m
D
80 m

Câu 14

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh có tên gọi khác nhau, gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ thành một hàng ngang (trong đó có một học sinh nam tên Dũng và một học sinh nữ tên Lan). Xác suất để giữa hai học sinh nữ liên tiếp có đúng hai học sinh nam và Dũng luôn đứng cạnh Lan bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{210}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{2.520}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{840}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{1260}$

Câu 15

Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x + m + 2 + 3\sqrt{x^2 - 4x}}{\sqrt{x^2 - 4x + 2}}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$ ?

A
17
B
18
C
58
D
57

Câu 16

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 6\text{cm}$ , $BC = BB' = 2\text{cm}$ . Điểm $E$ là trung điểm cạnh $BC$ . Một tứ diện đều $MNPQ$ có hai đỉnh $M$ và $N$ nằm trên đường thẳng $EC'$ , hai đỉnh $P$ và $Q$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $B'$ và cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $F$ . Khoảng cách $DF$ bằng

A
$\displaystyle 3\text{cm}$
B
$\displaystyle 2\text{cm}$
C
$\displaystyle 6\text{cm}$
D
$\displaystyle 1\text{cm}$

Câu 17

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(2;3;-1)$ , $B(2;3;2)$ , $C(-1;0;2)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ để $S = |\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MC}| + |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất.

A
$\displaystyle M\left(-1;0;\frac{7}{3}\right)$
B
$\displaystyle M(0;3;0)$
C
$\displaystyle M\left(1;0;\frac{7}{3}\right)$
D
$\displaystyle M\left(-\frac{1}{2};0;2\right)$

Câu 18

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ để tồn tại đúng 5 số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $3^{\log(x^2 - x + 3)} < (x + y)^{\log 3}$

A
5
B
7
C
6
D
10

Câu 19

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $\varphi$ , với $\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
B
$\displaystyle a^3\sqrt{2}$
C
$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}a^3}{3}$
D
$\displaystyle \frac{2a^3}{3}$

Câu 20

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên $x$ , biết rằng $x \ne 0$ , $x$ chia hết cho 6 và $x < 3.10^7.$

A
139.967
B
139.968
C
138.037
D
267.400

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai7,2 điểm

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , các đỉnh $B(m;0;0)$ , $D(0;m;0)$ , $A'(0;0;n)$ với $m, n > 0$ và $m + n = 4$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ .

a)
Tọa độ của điểm $C$ là $C(m;m;n)$
b)
Khi $m = 2; n = 4$ thì khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ là $d = \frac{4}{3}$
c)
Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ bằng $\frac{3}{2}$ lần khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A'BD)$
d)
Thể tích tứ diện $BDA'M$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{64}{27}$

Câu 2

Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Giá đóng cửa} & [120;122) & [122;124) & [124;126) & [126;128) & [128;130) \\ \hline \text{Cổ phiếu } A & 8 & 9 & 12 & 10 & 11 \\ \hline \text{Cổ phiếu } B & 16 & 4 & 3 & 6 & 21 \\ \hline \end{array}}

a)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $A$ ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 7,5216
b)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$ ta có số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 115,28
c)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$ ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $\sqrt{15,4096}$
d)
Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên, thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$ .

Câu 3

Cho phương trình $\frac{\cos x \cdot \cos 2x - m \cdot \cos x + \cos 2x - m}{\sin x} = 0$ với $m$ là tham số.

a)
Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z})$
b)
Với $m = 1$ , phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc $[0;2\pi]$
c)
Khi $m = \frac{1}{2}$ các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là một đa giác. Diện tích đa giác đó bằng $\sqrt{3}$ .
d)
Có hai giá trị $m$ để $4m$ nguyên và phương trình có đúng 2 nghiệm $x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$

Câu 4

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$ , $AB = AA' = 2a$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ .

a)
Khoảng cách từ điểm $C$ đến $mp(ABB'A')$ bằng $2a$
b)
Khoảng cách từ điểm $A$ đến $mp(A'BC)$ bằng $a\sqrt{5}$
c)
Khoảng cách từ điểm $B$ đến $mp(ACB')$ bằng $\sqrt{2}a$
d)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$ bằng $\frac{3a}{2}$

Câu 5

Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời trong đó chỉ có 1 câu trả lời đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa 1 câu trả lời.

a)
Học sinh đó làm đúng 6 câu và sai 6 câu thì được 12 điểm
b)
Xác suất để học sinh đó được 13 điểm là $\frac{4^7}{5^{12}}$
c)
Xác suất để học sinh đó được 3 điểm là $\frac{4^9}{5^{12}} \cdot C_{12}^3$
d)
Xác suất để học sinh đó được điểm âm là $\frac{65}{8} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{12}$

Câu 6

Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a)
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
b)
Hàm số $g(x) = f(x) + 2025$ nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$
c)
Hàm số $g(x) = f(|x + 2|)$ có 3 điểm cực trị
d)
Phương trình $|f(x)+4| = m^2 - 3m + 2$ có 4 nghiệm phân biệt khi $m \in \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};1\right) \cup \left(2;\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn4,8 điểm

Câu 1

Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong $(C)$ : $y = \frac{x + a}{x + b}$ , bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong $(C)$ đi qua điểm $(2; 3)$ và có đường tiệm cận đứng $x = 1$ . Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường $\Delta_1: 2x + y - 4 = 0$ và $\Delta_2: x + 2y - 2 = 0$ cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí $M(x_0; y_0)$ thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí $M$ đó đến hai tuyến đường $\Delta_1$ , $\Delta_2$ là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm $M$ là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

minh họa khu vườn, đường cong (C) và hai tuyến đường Delta 1, Delta 2

Trả lời:

Câu 2

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng: Hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng bao gồm: • Chi phí cố định: 100 triệu đồng. • Cho phí cho mỗi tấn sản phẩm làm ra: 30 triệu đồng.

Hỏi nhà máy $A$ cần bán cho nhà máy $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;1;5), B(3;0;1), C(-1;2;0)$ và điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ lớn nhất. Tính $P=a-2b+4c$ .

Trả lời:

Câu 4

Cho hai số thực $a,b>1$ sao cho luôn tồn tại số thực $x$ $(0<x\ne 1)$ thỏa mãn $a^{\log_b x}=b^{\log_a x^2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\ln^2 a+\ln^2 b-\ln(ab)$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trả lời:

Câu 5

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $AA'=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ . Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ . Gọi $P,Q,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CC'$ và $A'G$ . Tính khoảng cách từ $N$ đến mặt phẳng $(PQC)$ khi $a=2$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Câu 6

Bạn Hoa chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Bạn Bình chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Tìm xác suất sao cho số của Hoa lớn hơn số của Bình (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

HẾT