Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 12 lần 2 năm 2025–2026 — Trường THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; −1); y′ = 0 tại x = −1; y′ < 0 trên (−1; 0); y′ = 0 tại x = 0; y′ > 0 trên (0; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ < 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞), đạt cực đại tại x = −1 với y(−1) = 3, đạt cực tiểu tại x = 0 với y(0) = 1, đạt cực đại tại x = 1 với y(1) = 3.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (-\infty;0)$
B
$\displaystyle (2;+\infty)$
C
$\displaystyle (-1;0)$
D
$\displaystyle \left(0;\dfrac{1}{2}\right)$

Câu 2

Gọi $m$ , $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2}x - \sqrt{x+1}$ trên đoạn $[0;3]$ . Tính tổng $S = 2m + 3M$ .

A
$\displaystyle S = -\dfrac{7}{2}$
B
$\displaystyle S = -\dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle -3$
D
$\displaystyle S = 4$

Câu 3

Cho tứ diện $ABCD$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ , $M$ là trung điểm của $BC$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{SD}$ , giá trị của $\cos \alpha$ bằng

A
$\displaystyle \cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{10}$
B
$\displaystyle \cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
C
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{10}$
D
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{x} = (2;1;-3)$ và $\vec{y} = (1;0;-1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{a} = \vec{x} + 2\vec{y}$ .

A
$\displaystyle \vec{a} = (4;1;-1)$
B
$\displaystyle \vec{a} = (3;1;-4)$
C
$\displaystyle \vec{a} = (0;1;-1)$
D
$\displaystyle \vec{a} = (4;1;-5)$

Câu 6

Vào dịp tết Nguyên Đán, một số thành phố thường tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 ống bắn pháo hoa $A$ và $B$ được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m, ống bắn $A$ đặt nghiêng so với mặt đất một góc $80^\circ$ và ống bắn $B$ nghiêng so với mặt đất một góc $70^\circ$ . Hai pháo $A$ và $B$ được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường $100m$ thì nổ. Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.

Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu $m$ . (Làm tròn đến hàng phần chục)

A
$\displaystyle 17,55m$
B
$\displaystyle 17,54m$
C
$\displaystyle 15,55m$
D
$\displaystyle 15,54m$

Câu 7

Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Đường kính (cm)} & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65) \\ \hline \text{Tần số} & 5 & 20 & 18 & 7 & 3 \\ \hline \end{array}}

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

A
25
B
30
C
6
D
69,8

Câu 8

Cân nặng của học sinh khối 10 của trường THPT Quỳnh Lưu 1 vào đầu năm được cho như trong bảng dưới đây

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cân nặng} & [37,5;42,5) & [42,5;47,5) & [47,5;52,5) & [52,5;57,5) & [57,5;62,5) & [62,5;67,5) \\ \hline \text{Số học sinh} & 27 & 123 & 150 & 272 & 45 & 10 \\ \hline \end{array}}

Trung vị của mẫu số liệu gần với kết quả nào dưới đây?

A
52,75
B
53,75
C
54,24
D
53,18

Câu 9

Tập xác định của hàm số $y = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ là:

A
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2}\right\}, k \in \mathbb{Z}$
B
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + k\pi\right\}, k \in \mathbb{Z}$
C
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{6} + k\dfrac{\pi}{2}\right\}, k \in \mathbb{Z}$
D
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{6} + k\pi\right\}, k \in \mathbb{Z}$

Câu 10

Tổng các nghiệm của phương trình $\sin 2x + 3\cos x = 0$ trong khoảng $(0;\pi)$ là

A
$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$
B
$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle \pi$

Câu 11

Tập hợp nghiệm thực của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(4-3x) > -2$ là

A
$\displaystyle S = (0;+\infty)$
B
$\displaystyle S = \left(0;\dfrac{8}{3}\right)$
C
$\displaystyle S = \left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)$
D
$\displaystyle S = \left(0;\dfrac{4}{3}\right)$

Câu 12

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 8, u_5 = 17$ . Công sai $d$ bằng

A
$\displaystyle d = -3$
B
$\displaystyle d = 3$
C
$\displaystyle d = -5$
D
$\displaystyle d = 5$

Câu 13

Một thầy giáo cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 000 000VNĐ với lãi suất $0,5\%/$ tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thầy giáo có thể tiết kiệm tiền để mua được một chiếc xe ô tô trị giá 400 000 000 VNĐ?

A
60
B
50
C
55
D
45

Câu 14

Phần thi trắc nghiệm dạng đúng sai gồm 4 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách tính điểm như sau:

Học sinh chỉ làm đúng 1 ý được 0,1 điểm.
Học sinh chỉ làm đúng 2 ý được 0,25 điểm.
Học sinh làm đúng 3 ý được 0,5 điểm.
Học sinh làm đúng cả 4 ý được 1 điểm.

Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên tất cả các ý trả lời. Tính xác suất để học sinh đó được ít nhất 3,5 điểm.

A
$\displaystyle 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$
B
$\displaystyle 17\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}$
C
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}$
D
$\displaystyle 15.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}$

Câu 15

Cho hàm số $f(x)=e^x-e^{-x}+2020x$ . Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ có đúng 10 số nguyên dương $x$ thỏa mãn bất phương trình $f(mx+1)+f(2x-2021)<0$ ?

A
2018
B
19
C
18
D
2019

Câu 16

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=1, AD=2, AA'=3$ , điểm $M$ thuộc đoạn $B'D$ sao cho $B'M=x.MD$ . Khi $x=\dfrac{8+\sqrt{m}}{n}$ , với $m, n$ là các số nguyên dương thì góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ bằng $60^\circ$ . Tính giá trị $m+2n$ .

A
340
B
614
C
344
D
592

Câu 17

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1,5 km về phía bắc và 3 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,6 km (như hình). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là $a$ km theo hướng nam và $b$ km theo hướng tây. Tính tổng $2a+3b$ .

Câu 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ , $E$ là trung điểm của $SB$ . Biết rằng tam giác $EAC$ đều, $BD=2AC=2$ . Lấy $I$ trên đoạn $OD$ với $DI=x, 0<x<1$ . Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $I$ và song song với $(ACE)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $AD, CD, SC, SB, SA$ lần lượt tại $M, N, P, Q, R$ . Tìm diện tích lớn nhất của ngũ giác $MNPQR$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A
0,58
B
0,71
C
1,35
D
0,35

Câu 19

Từ các chữ số $\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$ thỏa mãn điều kiện $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$

A
128
B
300
C
129
D
453

Câu 20

Cho hàm số $f(x)=\log_4\left(\sqrt{x^2+8}-x\right)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(4.3^{x}+17x+m\right)+f\left(-3^{x+2}\right)=\frac{3}{2}$ có hai nghiệm thực dương phân biệt?

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai7,2 điểm

Câu 1

Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán $x$ cái điện thoại A thì giá mỗi cái là $p(x)$ (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần $C(x)=12.000-3x$ (triệu đồng).

a)
$p(1000)=14$ và $p(100)=13,5$
b)
$p(x)=-\dfrac{1}{200}x+19$
c)
Cửa hàng đạt lợi nhuận cao nhất khi bán ra 1200 cái điện thoại A
d)
Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A là 8,5 triệu đồng

Câu 2

Cho hình hộp $ABCD \cdot A'B'C'D'$ , biết điểm $A(5;-2;0), B(4;5;-2), C(0;3;2), A'(9;0;5)$ . Gọi $M$ là trung điểm $AA'$ .

a)
Tọa độ $D(1;-4;4)$
b)
Giá trị $\cos\left(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD}\right)=\dfrac{3\sqrt{609}}{609}$
c)
$\left|\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{C'D'}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right|=3\sqrt{29}$
d)
Điểm $K$ di chuyển trên trục $Ox$ . Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right|+3\left|\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right|$ . Giá trị nhỏ nhất của $Q$ bằng $6\sqrt{37}$ .

Câu 3

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15) \\ \hline \text{Số ngày} & 2 & 7 & 7 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}}

a)
Số ngày doanh thu bán hàng ít hơn 9 triệu là 7 ngày
b)
Số ngày doanh thu vượt quá 11 triệu là 4 ngày
c)
Doanh thu trung bình trong 20 ngày bán hàng là 9,4 triệu
d)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm) là 7,85

Câu 4

Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số $y=4,8\sin\dfrac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40. (các kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

a)
Khoảng cách giữa mặt sông và vị trí cao nhất của chiếc cầu là 4,8 mét
b)
Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Khi đó $OA\approx 28,3$ mét.
c)
Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 2,4 mét so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Khi đó chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 19,1 mét.
d)
Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Khi đó rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,5mét.

Câu 5

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = \sqrt{6}$ , $AD = \sqrt{3}$ , $A'C = 3$ và mặt phẳng $(AA'C'C)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $(AA'C'C)$ , $(AA'B'B)$ tạo với nhau góc $\alpha$ có $\tan \alpha = \frac{3}{4}$

a)
Kẻ $BK$ vuông góc với $AC$ tại $K$ . Ta có $BK \perp AA'$ .
b)
Góc giữa $A'A$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{A'AC}$
c)
Gọi $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'}$ . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $(AA'C'C)$ , $(AA'B'B)$ là góc $\widehat{KNB}$ .
d)
Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ là $V = 8$

Câu 6

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Gọi $X$ là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra một số từ $X$ . Khi đó:

a)
Số phần tử không gian mẫu là: 30.240
b)
Xác suất để lấy được số chẵn là: $\frac{41}{81}$
c)
Xác suất để lấy được số đó chia hết cho 5 là: $\frac{17}{81}$
d)
Xác suất để lấy được số đó lớn hơn 59.000 là: $\frac{37}{81}$

Phần 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn4,8 điểm

Câu 1

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là 70km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn 10km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc 50km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút.

Sơ đồ đường đi từ A đến B qua đường nhựa với các điểm C, D

Trả lời:

Câu 2

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A$ , $B$ , $C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều. Độ dài của ba đoạn dây $OA$ , $OB$ , $OC$ đều bằng $L$ . Trọng lượng của chiếc đèn là $27N$ và bán kính của chiếc đèn là $0,5m$ .

Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $18N$ (Chiều dài tính theo đơn vị cm và làm tròn đến hàng phần mười).

Trả lời:

Câu 3

Người ta thả vào ao một loại bèo có tốc độ tăng trưởng được tính theo công thức $S_t = S_0.e^{rt}$ . Trong đó, $S_0$ là diện tích ban đầu, $S_t$ là diện tích sau $t$ ngày, $r$ là tốc độ tăng trưởng và $t$ là số ngày. Ban đầu, diện tích bèo chiếm $\frac{1}{50}$ diện tích ao. Sau $t_1$ và $t_2$ ngày thì diện tích bèo lần lượt chiếm $\frac{1}{30}$ và $\frac{1}{10}$ diện tích ao $(t_2 > t_1)$ . Biết $t_2 - t_1 = 3$ , hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì diện tích bèo chiếm 1 nửa diện tích ao.

Trả lời:

Câu 4

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20cm$ , chiều rộng $10cm$ , chiều cao $8cm$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n(cm)$ , miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n(cm)$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a(cm^3)$ . Tổng các chữ số của $a$ bằng bao nhiêu?

hình hộp chữ nhật có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 8cm — Hình a

Trả lời:

Câu 5

Cho hàm số $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ ( $a > 0, b > 0$ ) thỏa mãn $f(3) = -\frac{7}{3}$ ; $f(9) = 81$ . Số giá trị của tham số $m$ sao cho $\max_{[-1;5]}|g(x)| + \min_{[-1;5]}|g(x)| = 86$ với $g(x) = f(1-2x) + 2f(x+4) + m$ là $a$ . Khi đó $2025a$ bằng:

Trả lời:

Câu 6

Có 3 chiếc xe ôtô màu đỏ, 2 ôtô màu vàng, 1 ôtô màu xanh cùng đỗ bên đường. Hỏi có bao nhiêu cách để không có 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau.

Trả lời:

HẾT