Đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2025–2026 — Trường THPT Yên Định 2, Thanh HóaMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

A
$\displaystyle y = -x^3 + 3x - 1$
B
$\displaystyle y = x^4 - 2x^2 - 2$
C
$\displaystyle y = x^3 - x + 2$
D
$\displaystyle y = x^3 - x - 2$

Câu 2

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 26; |\vec{b}| = 28; |\vec{a} + \vec{b}| = 48$ . Độ dài vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ bằng?

A
$\displaystyle 25$
B
$\displaystyle \sqrt{616}$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle \sqrt{618}$

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;2;-1), B(-1;-x;1), C(7;-1;y)$ . Khi $A, B, C$ thẳng hàng, giá trị $x + 2y$ bằng

A
$\displaystyle -8$
B
$\displaystyle -4$
C
$\displaystyle -5$
D
$\displaystyle -11$

Câu 4

Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 12 của một trường THPT, ta có bảng số liệu sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao (cm)} & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 10 & 16 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}}

Cỡ của mẫu số liệu là

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 30$
C
$\displaystyle 40$
D
$\displaystyle 175$

Câu 5

Tìm tổng các nghiệm của phương trình $\cos\left(5x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ trên $[0;\pi]$ .

A
$\displaystyle \frac{47\pi}{18}$
B
$\displaystyle \frac{4\pi}{18}$
C
$\displaystyle \frac{45\pi}{18}$
D
$\displaystyle \frac{7\pi}{18}$

Câu 6

Biết $\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - (ax + b)\right) = 0$ . Giá trị $a - 4b$ bằng

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 7

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-10;10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{mx^2 - 4}}{x - 1}$ có ba đường tiệm cận?

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 7$
D
$\displaystyle 9$

Câu 8

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \vec{u}$ , $\overrightarrow{CA'} = \vec{v}$ , $\overrightarrow{BD'} = \vec{x}$ , $\overrightarrow{DB'} = \vec{y}$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{4}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
B
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
C
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$
D
$\displaystyle 2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}(\vec{u} + \vec{v} + \vec{x} + \vec{y})$

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(4;1;5), B(3;2;1), C(-3;4;2)$ . Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Giá trị $3a+b$ bằng:

A
$\displaystyle \frac{19}{3}$
B
$\displaystyle \frac{28}{3}$
C
$\displaystyle \frac{11}{3}$
D
$\displaystyle \frac{20}{3}$

Câu 10

Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi thọ} & [3;5) & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) \\ \hline \text{Số bóng đèn} & 11 & 20 & 29 & 40 & 30 \\ \hline \end{array}}

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên?

A
$\displaystyle \Delta_Q = \frac{87}{8}$
B
$\displaystyle \Delta_Q = \frac{206}{29}$
C
$\displaystyle \Delta_Q = \frac{4.171}{232}$
D
$\displaystyle \Delta_Q = \frac{875}{232}$

Câu 11

Cho hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{6-2(m+1)\cos^2 x + m(\sin x - \cos x)^2}}$ . Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$ là $m \in (a;b)$ . Tính $a^2-b^2$ .

A
$\displaystyle -7$
B
$\displaystyle 25$
C
$\displaystyle 11$
D
$\displaystyle 7$

Câu 12

Biết trên đồ thị của ba hàm số $y = \log_a x$ , $y = 2\log_a x$ , $y = 3\log_a x$ (với $a > 1$ ) lần lượt có 3 điểm $A, B, C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ , $AB$ song song với trục hoành và có diện tích bằng 18. Giá trị của $a$ bằng

đồ thị ba hàm số logarit với tam giác ABC vuông cân tại B

A
$\displaystyle \sqrt[6]{6}$
B
$\displaystyle \sqrt[3]{3}$
C
$\displaystyle \sqrt[6]{3}$
D
$\displaystyle \sqrt[3]{6}$

Câu 13

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $10\mathrm{m}$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

A
$\displaystyle 40\mathrm{m}$
B
$\displaystyle 70\mathrm{m}$
C
$\displaystyle 50\mathrm{m}$
D
$\displaystyle 80\mathrm{m}$

Câu 14

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh có tên gọi khác nhau, gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ thành một hàng ngang (trong đó có một học sinh nam tên Dũng và một học sinh nữ tên Lan). Xác suất để giữa hai học sinh nữ liên tiếp có đúng hai học sinh nam và Dũng luôn đứng cạnh Lan bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{210}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2.520}$
C
$\displaystyle \frac{1}{840}$
D
$\displaystyle \frac{1}{1260}$

Câu 15

Cho hàm số $y = \frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x}+2}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$ ?

A
$\displaystyle 17$
B
$\displaystyle 18$
C
$\displaystyle 58$
D
$\displaystyle 57$

Câu 16

Treo một vật nặng có trọng lượng $60N$ bởi ba sợi dây giống hệt nhau, các sợi dây có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc $90^\circ$ như hình bên. Gọi $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ lần lượt là các lực căng của ba sợi dây nói trên. Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ bằng bao nhiêu Niuton? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

hình vẽ ba sợi dây treo vật nặng với các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ và trọng lực $\overrightarrow{P}$

A
$\displaystyle 37,5$
B
$\displaystyle 34,6$
C
$\displaystyle 42,2$
D
$\displaystyle 41,9$

Câu 17

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(2;3;-1)$ , $B(2;3;2)$ , $C(-1;0;2)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ để $S = \left|\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MC}\right| + \left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.

A
$\displaystyle M\left(-1;0;\dfrac{7}{3}\right)$
B
$\displaystyle M(0;3;0)$
C
$\displaystyle M\left(1;0;\dfrac{7}{3}\right)$
D
$\displaystyle M\left(-\dfrac{1}{2};0;2\right)$

Câu 18

Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ nguyên dương thỏa mãn $2^{(x-1)(x+1)} \ln\left[(x+1)^2 + 1\right] = 2^{y-x-3} \ln\sqrt{x+y-1}$ và $x, y \le 2025$ ?

A
$\displaystyle 45$
B
$\displaystyle 44$
C
$\displaystyle 43$
D
$\displaystyle 46$

Câu 19

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $\varphi$ , với $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$
B
$\displaystyle a^3\sqrt{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{2}a^3}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{2a^3}{3}$

Câu 20

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất của biến cố A: “Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác” là:

A
$\displaystyle \dfrac{95}{132}$
B
$\displaystyle \dfrac{65}{132}$
C
$\displaystyle \dfrac{35}{236}$
D
$\displaystyle \dfrac{55}{236}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai7,2 điểm

Câu 1

Luật bình phương nghịch đảo phát biểu rằng: Mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương của sự gia tăng khoảng cách. Sử dụng luật bình phương nghịch đảo, hãy giải quyết bài toán sau: ông Bảo có một mảnh đất lớn có chiều dài mặt tiền là $L$ (mét) ở giữa 2 hai quán karaoke thường phát ra âm thanh có cường độ lần lượt là $I_1$ và $I_2$ . Ông Bảo định xây một ngôi nhà nhỏ trên mảnh đất đó nhưng muốn tìm vị trí sao cho chịu ảnh hưởng của âm thanh từ 2 quán karaoke là ít nhất.

a)
Gọi $0 < x < L$ là khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ thì khi ấy mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà được biểu diễn dưới hàm số $f(x) = k\dfrac{I_1}{x^2} + k\dfrac{I_2}{(L-x)^2}$
b)
Nếu $I_1 = I_2$ thì người này nên xây nhà chính giữa hai quán karaoke
c)
Nếu thay đổi $I_1$ có độ lớn gấp 8 lần $I_2$ thì người này phải xây nhà cách quán karaoke $I_2$ một đoạn ngắn hơn lúc đầu là $\frac{L}{6}$ sao cho mức chịu ảnh hưởng vẫn đạt nhỏ nhất
d)
Giả sử khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ bằng $L-2$ sau khi mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà đạt giá trị nhỏ nhất. Nếu $k = \frac{I_2}{I_1}$ thì $k$ nhận 3 giá trị nguyên.

Câu 2

Công ty bảo hiểm Sunlife có 20.000 người đăng kí bảo hiểm. Những người đăng ký được phân theo 3 loại tiêu chuẩn như sau:

Tiêu chuẩn 1. Trẻ hay già;

Tiêu chuẩn 2. Đàn ông hay phụ nữ;

Tiêu chuẩn 3. Đã lập gia đình hay độc thân.

Biết rằng, trong 20.000 người đó có 6.300 người trẻ, 9.600 đàn ông, 13.800 người đã lập gia đình, 2.700 đàn ông trẻ, 6.400 đàn ông đã lập gia đình, 2.900 người trẻ đã lập gia đình, và 1100 đàn ông trẻ đã lập gia đình.

a)
Có tất cả 6.200 người độc thân và 10.400 phụ nữ
b)
Có tất cả 6.800 đàn ông già
c)
Xác suất để một người đăng kí bảo hiểm Sunlife được chọn một cách ngẫu nhiên là một người phụ nữ trẻ và độc thân là 9,2%
d)
Xác suất để 1 người trẻ bất kì đăng kí bảo hiểm Sunlife được chọn một cách ngẫu nhiên là một người đàn ông là 37,9%, biết rằng người đó đã lập gia đình

Câu 3

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật là và $EFP$ là tam giác cân tại $P$ . Gọi $T$ là trung điểm của $DC$ . Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6m$ $AE = 5m$ ; $AD = 8m$ ; $QT = 7m$ . Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2m$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

Hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với hệ trục tọa độ Oxyz

a)
Tọa độ điểm $Q$ là $(-6;3;5)$
b)
Góc giữa hai mái nhà (tức mặt phẳng $(EHQP)$ và $(FGQP)$ ) gần bằng $70^{\circ}22'$
c)
Thể tích toàn bộ ngôi nhà bằng $288(m^3)$
d)
Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$ . Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ nối thẳng đến camera (đường dây chỉ đi qua mặt đáy, mặt bên và mái của kho chứa hàng – ngoại trừ các mặt cổng). Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5+2\sqrt{10}$ m.

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $AB = 4a$ và $\widehat{BAD} = 120^{\circ}$ . Gọi $H$ là trung điểm của $AO$ . Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH = a\sqrt{3}$ .

a)
Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $[S, CD, A]$ , khi đó $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$
b)
Góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng góc $\widehat{BSH}$
c)
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $8a^3$
d)
Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD, BC$ và $SA$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$ .

Câu 5

Một khu du lịch sinh thái đang khai thác dịch vụ chèo thuyền và ngắm cảnh ven hồ. Hồ nước có dạng hình tròn tâm $O$ , bán kính bằng $1km$ và tại hai vị trí $A, B$ đối xứng nhau qua $O$ người ta xây dựng nơi bán vé vào và nơi kết thúc tham quan. Du khách sẽ được sử dụng dịch vụ chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên bờ hồ và sẽ có xe chở ngắm cảnh từ vị trí $C$ men theo bờ hồ đến nơi kết thúc $B$ . Biết rằng vận tốc chèo thuyền là $100m$ mỗi phút và vận tốc xe chạy ngắm cảnh là $200m$ mỗi phút. Gọi $x$ (radian) là số đo góc $\widehat{CAB}$ $\left(0 \le x < \dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Hình tròn tâm O đường kính AB và điểm C trên đường tròn cùng góc CAB

a)
Khi $x = 0$ thời gian đi từ $A$ đến $B$ là $20$ phút
b)
Quãng đường xe chở người đi ngắm cảnh là $1000x$ (mét)
c)
Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là $20\cos x + 5x$ (phút)
d)
Thời gian xe đi từ $A$ đến $B$ luôn ít hơn $22$ phút $30$ giây với mọi cách chọn từ vị trí điểm $C$

Câu 6

Kết quả khảo sát cân nặng của một số quả táo ở một lô hàng cho ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cân nặng (g)} & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) \\ \hline \text{Số quả táo} & 2 & 6 & 12 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}}

a)
Cỡ mẫu là $n = 24$
b)
Trung vị của mẫu số liệu thuộc $[160;165)$
c)
Tần số của nhóm chứa trung vị là $6$
d)
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $161,875$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn4,8 điểm

Câu 1

Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục $Oxy$ được mô phỏng như hình vẽ, trục $Ox$ gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = f(x)$ có đường tiệm cận đứng $x = 2$ . Điểm $G$ là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục $Ox$ được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí $A$ cách gốc tọa độ $O$ một khoảng $2,5$ đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát $1,5$ đơn vị theo phương song song với trục $Ox$ và cách mặt đất $4,5$ đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu đơn vị? (Làm tròn đến hàng phần chục)

đồ thị trên hệ trục tọa độ Oxy với đường cong màu đỏ qua các điểm A, B, C và đường thẳng đứt nét

Trả lời:

Câu 2

Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm hai phần. Phần chi phí thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ tàu và bằng 480 nghìn đồng mỗi giờ. Chi phí phần thứ hai trên 1km đường tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ tàu (tốc độ tàu tính theo km/h), khi tốc độ bằng 20 km/h thì chi phí phần thứ hai bằng 100 nghìn đồng mỗi giờ. Giả sử con tàu đó luôn giữ nguyên tốc độ di chuyển, để tổng chi phí nhiên liệu trên 1km đường là nhỏ nhất thì tốc độ của con tàu đó bằng bao nhiêu km/h? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trả lời:

Câu 3

Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình dưới) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn 1 m so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in (0^{\circ};180^{\circ})$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống 1 m theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6;8;0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4;-3;15)$ . Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

cẩu trục tháp với các bộ phận Cần nâng, Xe con, Móc cẩu, Thân tháp

Trả lời:

Câu 4

Kí hiệu $S$ là tập tất cả số nguyên $m$ sao cho phương trình $3^{x^2+mx+1} = (3+mx)3^{9x}$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;9)$ . Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Trả lời:

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB = AC = a$ , $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^\circ$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính $\cos[A,SB,C]$ (làm tròn đến hàng phần trăm.)

Trả lời:

Câu 6

Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S = \{1;2;\ldots;26\}$ . Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{N}^*$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = m+n$ .

Trả lời:

HẾT