Đề thi học sinh giỏi Toán 12 GDTX cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Hải Dương

Thời gian: 180 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 3$ có đồ thị $(C)$ .
1. a)
  Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của $(C)$ . Tính độ dài đoạn $AB$ .
2. b)
  Cho $M(0;1)$ . Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $AB$ .
2)
Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức $f(t) = \dfrac{26t+10}{t+5}$ ( $f(t)$ được tính bằng nghìn người). Xem $y = f(t)$ là một hàm số xác định trên $[0; +\infty)$ .
1. a)
  Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu?
2. b)
  Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người?

Câu II

2,0 điểm

1)
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể sau $t$ giờ được cho bởi công thức $C(t) = \dfrac{2t}{t^2+1}$ (đơn vị là miligam/lít). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
2)
Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$ .
2)
Giải phương trình: $9^{3x+2} = 27^{5-6x}$ .

Câu IV

2,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , tâm $O$ . Cho $SO \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$ .

1)
Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
2)
Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ .

Câu V

1,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có $A(2;3)$ và hai đường cao kẻ từ $B, C$ lần lượt có phương trình là $(d_1): 3x + 2y - 3 = 0, (d_2): x - 3y + 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $BC$ .

HẾT