Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh PhúcMã đề 101

Cho hình chóp $SABC$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $\Delta ABC$. Các đường thẳng qua $M$ và song song với $SA, SB, SC$ cắt mặt phẳng $(SBC), (SAC), (SAB)$ lần lượt tại $A', B', C'$. Khi $\frac{MA'}{SA} \cdot \frac{MB'}{SB} \cdot \frac{MC'}{SC}$ nhận giá trị lớn nhất thì $M$ là điểm nào của tam giác $\Delta ABC$?

Cho phương trình $\cos 3x - \cos 2x + m\cos x - 1 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm $x \in \left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right)$

Cho $\lim_{x \to -\infty} \frac{a\sqrt{x^2+1}+2023}{x+2024} = \frac{1}{2}$ và $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+bx+1}-x\right) = 2$. Tính $P = 4a+b$.

Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$. Gọi $I$ là trung điểm $BD$. Góc giữa hai đường thẳng $A_1D$ và $B_1I$ bằng

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển của biểu thức $\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^{40}$ (với $x \neq 0$) là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $A'$ là điểm trên $SA$ sao cho $A'A = \frac{1}{2}A'S$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A'$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại $B', C', D'$. Tính giá trị của biểu thức $T = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'} - \frac{SC}{SC'}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;-2)$, $B(3;2)$, $C(4;-1)$. Biết điểm $E(a;b)$ di động trên đường thẳng $AB$ sao cho $\left|2\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a^2-b^2$

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{\log_2 5}=16$; $b^{\log_5 13}=25$; $c^{\log_{13} 17}=169$. Giá trị của biểu thức $T=a^{\log_2^2 5}+b^{\log_5^2 13}+c^{\log_{13}^2 17}$ bằng

Tìm công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1+u_2+u_3=3 \\ u_1^2+u_2^2+u_3^2=131 \end{cases}$, biết $(u_n)$ là dãy số tăng

Cho hàm số $y=f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $a.f^2(\cos x)+b.f(\cos x)+c=0$ có số nghiệm trong khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{7\pi}{2}\right)$ là

Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x+2} & \text{khi } x \ne -2 \\ m & \text{khi } x=-2 \end{cases}$ liên tục tại $x=-2$

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1} \end{cases}$. Đặt $S_n=u_1+\dfrac{u_2}{2}+\dfrac{u_3}{3}+...+\dfrac{u_n}{n}$. Giá trị $n$ nhỏ nhất để $S_n \ge \dfrac{2022}{2023}$ là

Trong dịp hội trại hè, bạn Nam thả một quả bóng cao su từ độ cao $6(\text{m})$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $4\left(\log_2 \sqrt{x}\right)^2-\log_{\frac{1}{2}} x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;1)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $A$, $SA=a\sqrt{3}$, $SB=2a$. Điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AD$ sao cho $AM=2MD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SAB)$. Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ bằng

Aria mua một ngôi nhà với giá bán $P = 290\,000\$$ theo hình thức mua trả góp, lãi suất $8,25\%$ một năm, trong vòng 30 năm, với số tiền phải trả mỗi tháng không đổi bằng $M$ ($). Gọi $r$ là lãi suất một tháng.

Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ có đồ thị $(C)$ (như hình vẽ).

Cân nặng của 40 bé trai sơ sinh 1 ngày tuổi chọn ngẫu nhiên ở một bệnh viện được nhà nghiên cứu thống kê trong bảng dưới đây:

Số liệu làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Trong một hộp có 40 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên đồng thời 4 chiếc thẻ từ hộp. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, $I$ là trung điểm của $SA$.

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left(\frac{1}{x^4}+x^7\right)^n$, biết rằng: $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^3+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{20}-1$ ($n$ là số nguyên dương, $x>0$).

Từ các số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau mà tổng ba chữ số cuối nhỏ hơn tổng ba chữ số đầu là 3 đơn vị.

Một khay đá viên gồm 6 ngăn nhỏ có dạng là các hình chóp cụt với miệng và đáy là hình vuông (xem hình, kích thước của miệng lớn hơn của đáy).

Ta đo được độ dài cạnh đáy nhỏ, cạnh đáy lớn lần lượt bằng $1$ cm, $3$ cm và chiều cao mặt bên bằng $\sqrt{2}$ cm. Tính cosin góc giữa đường chéo của viên đá với cạnh đáy của viên đá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Cho phương trình $3\sin x.\cos^2 x-\sin^3 x=\cos\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)$ (1). Gọi $(H)$ là hình tạo bởi các điểm biểu diễn các nghiệm của (1) trên đường tròn lượng giác. Tính diện tích hình $(H)$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Tổng các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-20;20)$ để hàm số $y=\frac{2\cos x-1}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ là

Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $\lim_{x \to -\infty}\left[(m^2-m-2)x^{2023}+2(m^2+m+1)x^{2022}+8x^3+3x^2+2023\right]=+\infty$. Khi đó, số tập con của $S$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=AD=1$ cm, $CD=2$ cm. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\sqrt{2}$ $cm^3$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng bao nhiêu centimet? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng $20\text{ cm}$. Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong) bằng $\frac{a}{b} \left(cm^3\right)$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b \in \mathbb{Z}$. Tính giá trị biểu thức $T = a - 2024b$

Một doanh nghiệp tư nhân $A$ chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe $X$ với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA = SB = SC = SD = a\sqrt{2}$. Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ theo $a$ được viết dưới dạng $d(SB, CD) = \frac{\sqrt{m}}{n}a; (m;n)=1$. Tính $T = m + n$