Đề thi học kỳ 2 Toán 12 năm 2026 — Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng TrịMã đề A

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu · 3,0 điểm

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu · 4,0 điểm

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = -4 + t \\ z = -4 - t \end{cases}$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 1 - 4t \\ y = 3 - 4t \\ z = 2 - t \end{cases}$ bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A
$\displaystyle 66,83^{\circ}$
B
$\displaystyle 69,19^{\circ}$
C
$\displaystyle 50,64^{\circ}$
D
$\displaystyle 65,55^{\circ}$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x - 8)^2 + (y + 10)^2 + (z + 2)^2 = 65$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là

A
$\displaystyle I(-8; 10; -2)$
B
$\displaystyle I(8; -10; -2)$
C
$\displaystyle I(8; 10; -2)$
D
$\displaystyle I(-8; 10; 2)$

Câu 3

Cho $B, D$ là các biến cố trong đó $P(D) > 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng

A
$\displaystyle P(\overline{B} \mid D) = P(B \mid D)$
B
$\displaystyle P(B \mid D) = \dfrac{P(D)}{P(BD)}$
C
$\displaystyle P(\overline{B} \mid D) = P(B \mid \overline{D})$
D
$\displaystyle P(B \mid D) = \dfrac{P(B \cap D)}{P(D)}$

Câu 4

Cho mặt phẳng $(P): x - 2y + 3z - 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

A
$\displaystyle \vec{n} = (1; -2; 3)$
B
$\displaystyle \vec{n} = (-1; -2; -3)$
C
$\displaystyle \vec{n} = (1; 2; 3)$
D
$\displaystyle \vec{n} = (-2; 3; -4)$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 \end{cases}$ . Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là:

A
$\displaystyle \vec{u} = (1; 3; 4)$
B
$\displaystyle \vec{u} = (1; -1; 0)$
C
$\displaystyle \vec{u} = (2; -1; 4)$
D
$\displaystyle \vec{u} = (2; -1; 0)$

Câu 6

Cho hai biến cố $A$ và $F$ có $P(A) = 0,61$ và $P(F \mid A) = 0,46$ . Tính xác suất $P(AF)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A
$\displaystyle 0,01$
B
$\displaystyle 0,75$
C
$\displaystyle 0,28$
D
$\displaystyle 0,62$

Câu 7

Trong hệ trục $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y - 6z + 27 = 0$ . Mặt cầu $(S)$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

A
$\displaystyle (-3; 6; -4)$
B
$\displaystyle (0; -1; -5)$
C
$\displaystyle (1; -5; 3)$
D
$\displaystyle (-4; 3; 3)$

Câu 8

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình của mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là:

A
$\displaystyle x = 0$
B
$\displaystyle z = 0$
C
$\displaystyle x + y = 0$
D
$\displaystyle y = 0$

Câu 9

Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(6; 5; -7)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{HC}$ làm vectơ chỉ phương với $H(7; 5; -2)$ và $C(13; 8; -11)$ có phương trình là

A
$\displaystyle \begin{cases} x = 6 + 2t \\ y = 5 + t \\ z = -7 - 3t \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 + 6t \\ y = 1 + 5t \\ z = -3 - 7t \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x = -6 + 2t \\ y = -5 + t \\ z = 7 - 3t \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x = 6 + 2t \\ y = -5 - t \\ z = -7 - 3t \end{cases}$

Câu 10

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ . Định nghĩa nào sau đây về tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$ là đúng?

A
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = F(a) - F(b)$
B
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$
C
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = f(a) - f(b)$
D
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a)$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{4}$ . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$ ?

A
$\displaystyle Q(2;1;3)$
B
$\displaystyle M(1;-2;4)$
C
$\displaystyle P(2;-1;3)$
D
$\displaystyle N(-2;1;-3)$

Câu 12

Tính tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x}dx$ .

A
$\displaystyle I = e - 1$
B
$\displaystyle I = 0$
C
$\displaystyle I = e$
D
$\displaystyle I = 1$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 13

Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a)
Hàm số $F(x) = 9x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 9$
b)
$\int \sin x dx = \cos x + C$
c)
$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$
d)
$\int e^x dx = e^x + C$

Câu 14

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x - y + z - 1 = 0$ .

a)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (2;-1;1)$
b)
Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$
c)
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $2x - y + z = 0$
d)
Gọi $\alpha$ góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ , khi đó $\cos \alpha = \frac{1}{6}$

Câu 15

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+3}{3}$ . Khi đó:

a)
Điểm $A(1;2;3)$ không thuộc đường thẳng $d$
b)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (2;-2;3)$
c)
Phương trình mặt cầu tâm $A(1;2;3)$ có bán kính 3 là $(x^2-1)+(y^2-2)+(z^2-3)=9$
d)
Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + z + 2 = 0$ bằng $60^0$

Câu 16

Cho sơ đồ cây bên dưới

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a)
$P(B \mid A)=0,5$
b)
$P(AB)=0,03$
c)
$P(B)=0,54$
d)
$P(\overline{B} \mid \overline{A})=0,4$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 17

Đường thẳng đi qua $A(3;2;-2)$ , $B(-1;4;1)$ có chứa điểm $M$ có tọa độ $(a;b;4)$ . Tìm $a+b$ .

Trả lời:

Câu 18

Trong hệ trục $Oxyz$ , phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $B(-1;-7;3)$ và đi qua điểm $E(0;-5;-8)$ là $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=d$ . Tính $a+b+c+d$ .

Trả lời:

Câu 19

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5;-2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng $EG$ (hình vẽ bên dưới). Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(5;0;0)$ , $N(0;-5;0)$ , $P(0;0;0,5)$ . Tọa độ của điểm $C(a;b;c)$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, tính $T=a+b+c$ . (Kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)

Hình vẽ hệ tọa độ Oxyz với mặt phẳng đám mây (α) qua M, N, P và đường bay AB cắt mặt phẳng tại C

Trả lời:

Câu 20

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600$ km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\begin{cases} x = -1000 + 100t \\ y = -200 + 80t \\ z = 10 \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị km).

Hình vẽ hệ trục tọa độ Oxyz với hình cầu tâm O và đường thẳng d cắt hình cầu tại hai điểm B, C, điểm A nằm ngoài hình cầu

Trả lời:

Câu 21

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính $450$ km và chiều cao $30$ km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên dưới), mỗi đơn vị trên trục là $1$ km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí $A(30; -780; 60)$ , dự định bay thẳng với vận tốc không đổi $7$ km/ giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Hình vẽ bên trái là mô hình rađa với hình chỏm cầu bao phủ, hình vẽ bên phải là sơ đồ hình chỏm cầu trong hệ trục tọa độ Oxyz với quỹ đạo tên lửa từ điểm A hướng về gốc tọa độ O

Trả lời:

Câu 22

Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $90\%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80\%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là $1\%$ . Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng $\frac{a}{b}$ (Phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

HẾT