Đề thi học kỳ 2 Toán 12 năm 2026 — Trường THPT Núi Thành, Đà NẵngMã đề 1001

Thời gian: 90 phút
Số câu: 21 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 2 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 4 câu

Phần IV. Tự luận — 3 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha): ax + by + cz + d = 0$ là

A
$\displaystyle d(A, (\alpha)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
B
$\displaystyle d(A, (\alpha)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}}$
C
$\displaystyle d(A, (\alpha)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{a^2 + b^2 + c^2}$
D
$\displaystyle d(A, (\alpha)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a + b + c}}$

Câu 2

Cho $f(x), g(x)$ là hai hàm số xác định và liên tục trên tập $K$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A
$\displaystyle \int [2 + f(x)]dx = \int 2dx + \int f(x)dx$
B
$\displaystyle \int 2f(x)dx = \int 2dx \cdot \int f(x)dx$
C
$\displaystyle \int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
D
$\displaystyle \int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 5; 6)$ có phương trình là

A
$\displaystyle 1(x - 4) + 2(y - 5) + 3(z - 6) = 0$
B
$\displaystyle 4(x - 1) + 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0$
C
$\displaystyle 1(x + 4) + 2(y + 5) + 3(z + 6) = 0$
D
$\displaystyle 4(x + 1) + 5(y + 2) + 6(z + 3) = 0$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{-2} = \dfrac{z + 1}{3}$ . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$ ?

A
$\displaystyle N(1; -2; 3)$
B
$\displaystyle M(-2; -1; 1)$
C
$\displaystyle P(2; 1; -1)$
D
$\displaystyle Q(2; 1; 1)$

Câu 5

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1; 2]$ . Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1; 2]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \int_{1}^{2} F(x)dx = f(2) - f(1)$
B
$\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)dx = F(2) + F(1)$
C
$\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)dx = F(2) - F(1)$
D
$\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)dx = F(1) - F(2)$

Câu 6

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên tập $K$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \int F(x)dx = f(x) + C, \forall x \in K$
B
$\displaystyle f(x) = F(x) + C, \forall x \in K$
C
$\displaystyle \int f(x)dx = F(x) + C, \forall x \in K$
D
$\displaystyle f'(x) = F(x), \forall x \in K$

Câu 7

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u}' = (a'; b'; c')$ . Khi đó, $\cos(\Delta, \Delta')$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{|aa' - bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$
B
$\displaystyle \dfrac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$
C
$\displaystyle \dfrac{|aa' - bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$
D
$\displaystyle \dfrac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$

Câu 8

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, nhận giá trị không âm trên đoạn $[a; b]$ . Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?

A
$\displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} f(x^2)dx$
B
$\displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$
C
$\displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} |f(x)|dx$
D
$\displaystyle V = \pi^2 \int_{a}^{b} f(x)dx$

Câu 9

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với $abc \neq 0$ thì $d$ có phương trình chính tắc là:

A
$\displaystyle \frac{x - a}{x_{0}} = \frac{y - b}{y_{0}} = \frac{z - c}{z_{0}}$
B
$\displaystyle \frac{x - x_{0}}{a} + \frac{y - y_{0}}{b} + \frac{z - z_{0}}{c} = 0$
C
$\displaystyle \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$
D
$\displaystyle \frac{x + x_{0}}{a} = \frac{y + y_{0}}{b} = \frac{z + z_{0}}{c}$

Câu 10

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P): x - 3y + 2z - 1 = 0$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A
$\displaystyle (P_{3}): x - y - 2z + 1 = 0$
B
$\displaystyle (P_{2}): x - 3y + 4z - 2 = 0$
C
$\displaystyle (P_{1}): 2x - 6y + 4z - 2 = 0$
D
$\displaystyle (P_{4}): -2x + 6y - 4z - 1 = 0$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$ . Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A
$\displaystyle \vec{u_{1}} = (1; -2; 3)$
B
$\displaystyle \vec{u_{4}} = (3; 1; 2)$
C
$\displaystyle \vec{u_{2}} = (-1; 2; -3)$
D
$\displaystyle \vec{u_{3}} = (2; -4; 6)$

Câu 12

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(2; 1; -3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; -2; 3)$ là

A
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -3 + 3t \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = -3 - 3t \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -3 - 3t \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - 2z + 3 = 0$ .

a)
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{\alpha}} = (0; 2; -2)$
b)
Khoảng cách từ điểm $N(1; 0; -1)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $2$
c)
Mặt phẳng $(\alpha)$ không đi qua điểm $M(1; -2; 0)$
d)
Biết mặt phẳng $(\beta)$ chứa vectơ $\vec{a} = (2; 1; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó mặt phẳng $(\beta)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{\beta}} = (-2; 2; 1)$ .

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -1 + t \end{cases}, (t \in R)$

a)
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; -3; -1)$
b)
Điểm $A(2; 1; -1)$ thuộc đường thẳng $d$
c)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(3; -1; 2)$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc là $\frac{x + 3}{-1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 2}{1}$
d)
Góc giữa đường thẳng $d$ và trục $Oz$ bằng $72^{0}$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ)

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4x + \frac{1}{x^{2}}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 1$ , $x = 2$ quanh trục hoành bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Câu 2

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 2\cos x$ và thoả mãn $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$ . Tính $F(\pi)$ .

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1; -2; 3)$ , $B(a; 3; c)$ , mặt phẳng $(P): x - 3y + 2z - 5 = 0$ và đường thẳng $d: \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+3}{1}$ . Khi đó, để đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A, B$ đồng thời $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ , song song với mặt phẳng $(P)$ thì $a + c$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 4

Sân khấu của một chương trình biểu diễn nghệ thuật như hình vẽ dưới đây. Mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng nghiêng về phía khán giả. Biết $AB, AD, AH$ đôi một vuông góc nhau và $AB = 6m$ , $AD = 8m$ , $AH = 1m$ . Gọi $C$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng đi qua 3 điểm $B, C, H$ . Tại điểm $D$ , người ta dựng một cột thẳng đứng $DE$ vuông góc với mặt đất, có chiều cao $8m$ . Trong một buổi biểu diễn nghệ thuật, một nghệ sĩ ngồi trên ghế treo được gắn vào dây cáp thẳng nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ và trượt dọc theo sợi dây này. Khi ghế di chuyển được $\frac{3}{4}$ quãng đường từ $B$ đến $E$ thì dừng lại tại điểm $M$ . Hãy tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt sân khấu (kết quả tính làm tròn đến hàng phần mười của đơn vị mét).

sơ đồ sân khấu với mặt phẳng BCH, cột DE và dây cáp BE

Trả lời:

Phần IV. Tự luận3,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

a)
Tính tích phân $I = \int_{1}^{3} (3x^5 + 1) dx$ .
b)
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; -2; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-2; 1; 3)$ .

Câu 2

1,0 điểm

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = (x - 3)^2 - 4$ và $y = x - 5$ .

Câu 3

1,0 điểm

Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài $1$ mét) để mô tả các vật thể trong không gian. Một vòi phun nước được đặt tại điểm $M(-2; 3; 1)$ , phun tia nước theo hướng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; 3)$ . Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha): 2x - 3y + z + 14 = 0$ . Gọi $N$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).

HẾT