Đề thi học kỳ 1 Toán 12 năm 2025 — Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Hà NộiMã đề 2301

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; −5); f′(x) = 0 tại x = −5; f′(x) < 0 trên (−5; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; −5) và (−1; +∞), nghịch biến trên (−5; −1), đạt cực đại tại x = −5 với f(−5) = 13, đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = 3.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle (-1;+\infty)$
B
$\displaystyle (-5;+\infty)$
C
$\displaystyle (-5;-1)$
D
$\displaystyle (-\infty;-1)$

Câu 2

Trong kì thi chọn học sinh giỏi của trường THPT X, môn Toán có 25 học sinh tham gia thi. Kết quả điểm bài thi của học sinh được thể hiện trong bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm bài thi} & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18) & [18;20) \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 6 & 8 & 4 & 3 \\ \hline \end{array}

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 18,5$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 10,5$

Câu 3

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?

A
$\displaystyle y = -x^{3} + 3x + 1$
B
$\displaystyle y = -x^{3} - 3x + 1$
C
$\displaystyle y = x^{3} - 3x + 1$
D
$\displaystyle y = x^{3} + 3x + 1$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;-3)$ và điểm $B(5;-12;17)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là điểm có tọa độ

A
$\displaystyle (2;-7;10)$
B
$\displaystyle (6;-10;14)$
C
$\displaystyle (3;-5;7)$
D
$\displaystyle (-2;7;-10)$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (2;3;2)$ và $\vec{b} = (1;1;-1)$ . Khi đó vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (1;2;3)$
B
$\displaystyle (3;4;1)$
C
$\displaystyle (3;5;1)$
D
$\displaystyle (-1;-2;3)$

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là

A
$\displaystyle (1;0)$
B
$\displaystyle (-1;0)$
C
$\displaystyle (2;0)$
D
$\displaystyle (1;-4)$

Câu 7

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 3x + 5}{x + 2}$ là

A
$\displaystyle y = x + 3$
B
$\displaystyle y = x + 1$
C
$\displaystyle y = x + 2$
D
$\displaystyle y = x$

Câu 8

Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 2}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình được tô đậm bằng

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x-2}$ với hai đường tiệm cận và miền tô đậm

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{7}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{15}{4}$

Câu 9

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;2;1)$ , $B(-3;0;3)$ , $C(2;4;-1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A
$\displaystyle D(6;-6;-3)$
B
$\displaystyle D(6;6;3)$
C
$\displaystyle D(6;6;-3)$
D
$\displaystyle D(6;-6;3)$

Câu 10

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC'$ . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC'$

A
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$

Câu 11

Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán $x$ chiếc máy xay sinh tố hàng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) có thể được tính bằng công thức $P(x) = -0,3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48.000$ . Để có lợi nhuận lớn nhất công ty cần sản xuất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng?

A
$\displaystyle 110$
B
$\displaystyle 90$
C
$\displaystyle 120$
D
$\displaystyle 100$

Câu 12

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (1;-2;3)$ và $\vec{b} = (-2;1;2)$ . Khi đó tích vô hướng $\left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \vec{b}$ bằng

A
$\displaystyle 12$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 11$
D
$\displaystyle 2$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Cô Ngọc thống kê số giờ chơi thể thao trong 1 tuần của học sinh lớp 12B ở bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số giờ} & [0;3) & [3;6) & [6;9) & [9;12) \\ \hline \text{Số học sinh} & 4 & 13 & 16 & 17 \\ \hline \end{array}

a)
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $n = 50$
b)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $9$
c)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm $[3;6)$
d)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là một giá trị lớn hơn $8$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(5;2;1)$ , $B(9;-2;3)$ , $C(2;1;1)$ .

a)
Hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là $(0;2;1)$
b)
$AB + AC = 6 + \sqrt{10}$
c)
$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{2\sqrt{10}}{15}$
d)
Điểm $M \in Ox$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC}$ có hoành độ lớn hơn $5$

Câu 3

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

a)
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
b)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$
c)
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng $16$
d)
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{f(x)}{(x - 1)(x^2 - 6x + 9)}$ là $1$

Câu 4

Một hãng chế tác đồng hồ có quy trình sản xuất tuân theo công thức $Q = \sqrt{KL}$ (gọi là công thức Cobb-Douglas), trong đó $Q$ là số chiếc đồng hồ chế tác ra được, $K$ là số đơn vị vốn (máy móc, thiết bị), $L$ là số đơn vị lao động (thợ chế tác) mà hãng đó thuê được. Khi đó biểu thức

F = 16K + 9L + 40

mô tả tổng chi phí mà hãng đó phải bỏ ra (đơn vị: nghìn USD). Năm 2025, để kỷ niệm 160 năm thành lập, hãng quyết định chế tác 160 chiếc đồng hồ phiên bản giới hạn toàn cầu.

a)
$L = \dfrac{160}{K}$
b)
Khi thuê 200 đơn vị vốn để chế tác 160 chiếc đồng hồ thì tổng chi phí bỏ ra lớn hơn $4.500$ (nghìn USD)
c)
$F = 16K + 9 \cdot \dfrac{160^2}{K} + 40$
d)
Tổng chi phí tối thiểu để chế tác 160 chiếc đồng hồ là $3.840$ (nghìn USD)

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ như hình vẽ. Đặt một mô hình đồ chơi tại đỉnh $A$ , tác động vào mô hình đó bởi các lực $\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2, \overrightarrow{F}_3$ có giá lần lượt nằm trên các cạnh $AB, AA', AD$ và $\left|\overrightarrow{F}_1\right| = 2\text{N}$ , $\left|\overrightarrow{F}_2\right| = 2\text{N}$ , $\left|\overrightarrow{F}_3\right| = 3\text{N}$ . Hãy xác định độ lớn (N) của hợp lực $\overrightarrow{F}$ tác động lên mô hình đó. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với các lực $\overrightarrow{F}_1$, $\overrightarrow{F}_2$, $\overrightarrow{F}_3$ tại đỉnh $A$

Trả lời:

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{AB} = (6; 3; 0)$ và điểm $C(1; 1; 2)$ . Biết điểm $C$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn $BC = 2AC$ . Nếu điểm $A$ có tọa độ là $(m; n; p)$ thì giá trị của $m + 3n + 4p$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Kết quả khảo sát về độ tuổi kết hôn của 100 người phụ nữ vừa lập gia đình của xã $A$ được cho ở bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi kết hôn} & [19; 22) & [22; 25) & [25; 28) & [28; 31) & [31; 34) \\ \hline \text{Số phụ nữ} & 10 & 27 & 31 & 25 & 7 \\ \hline \end{array}

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Câu 4

Cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 48}{x - 1}$ có hai điểm cực trị là $A, B$ như hình vẽ bên. Diện tích hình chữ nhật tô đậm có giá trị bằng bao nhiêu?

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 48}{x - 1}$ với hai điểm cực trị $A, B$ và hình chữ nhật tô đậm

Trả lời:

Câu 5

Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh $200\,\mathrm{m}$ đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$ , đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$ . Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài $120\,\mathrm{m}$ và chiều rộng $80\,\mathrm{m}$ . Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là $3\,\mathrm{m/s}$ còn khi đi trên cát là $2\,\mathrm{m/s}$ . Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Sơ đồ khu đất hình vuông $ABCD$ với bãi cát hình chữ nhật ở chính giữa và các đường đi của robot từ chính giữa cạnh $AB$ đến cạnh $CD$

Trả lời:

Câu 6

Xét trên đoạn đường thẳng $OA$ dài $30\,\mathrm{km}$ , cùng một lúc, ở $A$ có một người đi xe đạp đi về $O$ với vận tốc $15\,\mathrm{km/h}$ , đồng thời tại $O$ có một chiếc khinh khí cầu bay lên với vận tốc $10\,\mathrm{km/h}$ . Gọi $t$ (đơn vị: giờ, $t \geq 0$ ) là thời gian kể từ lúc người đi xe đạp và khinh khí cầu bắt đầu di chuyển. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đi xe đạp và khinh khí cầu đạt được khi $t$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Sơ đồ đoạn đường thẳng $OA$ với người đi xe đạp tại $A$ đi về $O$ và khinh khí cầu tại $O$ bay lên

Trả lời:

HẾT