Đề thi học kỳ 1 Toán 12 năm 2023 — Trường TH, THCS & THPT Thực nghiệm Khoa học Giáo dục, Hà Nội

Câu 1

Cho hình nón đỉnh $S$ , đường cao $SO$ . $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $2a$ . Biết góc giữa đường sinh và đáy bằng $30^{\circ}$ và tam giác $SAB$ đều. Thể tích hình nón theo $a$ bằng

A
$\displaystyle 8\pi$
B
$\displaystyle 5\sqrt{3}\pi$
C
$\displaystyle 6\sqrt{6}\pi$
D
$\displaystyle 4\sqrt{2}\pi$

Câu 2

Xét khối nón $(\mathcal{N})$ có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi $(\mathcal{N})$ có độ dài đường sinh bằng $2\sqrt{3}$ , thể tích của nó bằng

A
$\displaystyle 3\pi$
B
$\displaystyle 6\sqrt{3}\pi$
C
$\displaystyle 2\sqrt{3}\pi$
D
$\displaystyle \pi$

Câu 3

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = \left(\dfrac{1}{10}\right)^x$
B
$\displaystyle y = 2^x$
C
$\displaystyle y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
D
$\displaystyle y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^x$

Câu 4

Biểu thức $\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}$ với $x > 0$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A
$\displaystyle x^{\frac{7}{12}}$
B
$\displaystyle x^{\frac{1}{3}}$
C
$\displaystyle x^{\frac{1}{12}}$
D
$\displaystyle x^{\frac{3}{4}}$

Câu 5

Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Phát biểu nào dưới đây đúng?

Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

A
$\displaystyle a > 0, b > 0, c < 0, d > 0$
B
$\displaystyle a > 0, b < 0, c > 0, d > 0$
C
$\displaystyle a > 0, b < 0, c < 0, d > 0$
D
$\displaystyle a < 0, b > 0, c < 0, d > 0$

Câu 6

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \log_5(x^2 + x + 1)$ .

A
$\displaystyle y' = \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)\ln 5}$
B
$\displaystyle y' = \dfrac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)\ln 5}$
C
$\displaystyle y' = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$
D
$\displaystyle y' = (2x + 1)\ln 5$

Câu 7

Cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle a < 0, b > 0, c > 0$
B
$\displaystyle a > 0, b < 0, c > 0$
C
$\displaystyle a < 0, b < 0, c > 0$
D
$\displaystyle a < 0, b > 0, c < 0$

Câu 8

Cho hàm số $y = x^{-4}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A
Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$
B
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$
C
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1;1)$
D
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Câu 9

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ , góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
B
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$
C
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$
D
$\displaystyle \frac{a^3}{8}$

Câu 10

Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi xuất $0,2\%/$ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó lĩnh được số tiền lớn hơn $X$ triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi?

A
15 tháng
B
18 tháng
C
$X$ tháng
D
16 tháng

Câu 11

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ và trục hoành là

A
2
B
0
C
1
D
3

Câu 12

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $3\sqrt{2}a$ , cạnh bên bằng $5a$ . Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ .

A
$\displaystyle R = \sqrt{3}a$
B
$\displaystyle R = \sqrt{2}a$
C
$\displaystyle R = 2a$
D
$\displaystyle R = \frac{25a}{8}$

Câu 13

Cắt hình trụ $(T)$ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 1. Diện tích xung quanh của $(T)$ bằng

A
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
B
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
C
$\displaystyle 2\pi$
D
$\displaystyle \pi$

Câu 14

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $g(x) = f(-x^2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
2
B
4
C
5
D
3

Câu 15

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[4]{x^2 - 2x}$ là

A
$\displaystyle y' = \frac{1}{2}(x - 1)\sqrt[4]{(x^2 - 2x)^3}$
B
$\displaystyle y' = \frac{x - 1}{2\sqrt[4]{(x^2 - 2x)^3}}$
C
$\displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt[4]{(x^2 - 2x)^3}}$
D
$\displaystyle y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{(x^2 - 2x)^3}}$

Câu 16

Cho hàm số $y = \frac{mx + 9}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$ .

A
4
B
5
C
3
D
Vô số

Câu 17

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1$ đạt cực đại tại $x = 1$ .

A
$\displaystyle m = -1$
B
$\displaystyle m = 1$
C
$\displaystyle m = 2$
D
$\displaystyle m = -2$

Câu 18

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A
$\displaystyle y = x^3 - 3x$
B
$\displaystyle y = -x^4 + 2x^2$
C
$\displaystyle y = -x^3 + 3x$
D
$\displaystyle y = x^4 - 2x^2$

Câu 19

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln(5a) - \ln(3a)$ bằng:

A
$\displaystyle \ln \dfrac{5}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{\ln(5a)}{\ln(3a)}$
C
$\displaystyle \ln(2a)$
D
$\displaystyle \dfrac{\ln 5}{\ln 3}$

Câu 20

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & & & 5 & & & & +\infty \\ f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & 1 & & \\ \hline \end{array}

Số nghiệm của phương trình $f(x) - 2 = 0$ là:

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 21

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -x^3 - 6x^2 + (4m - 9)x + 4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ là

A
$\displaystyle \left[-\dfrac{3}{4}; +\infty\right)$
B
$\displaystyle [0; +\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty; 0]$
D
$\displaystyle \left(-\infty; -\dfrac{3}{4}\right]$

Câu 22

Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích $16\pi$ ( $\text{m}^3$ ). Tìm bán kính đáy $r$ của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

A
$2$ m
B
$0,8$ m
C
$1,2$ m
D
$2,4$ m

Câu 23

Cho $\log_2 5 = a$ ; $\log_3 5 = b$ . Khi đó $\log_6 5$ tính theo $a$ và $b$ là

A
$\displaystyle \dfrac{ab}{a+b}$
B
$\displaystyle a^2 + b^2$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{a+b}$
D
$\displaystyle a + b$

Câu 24

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 8x + m}$ có $3$ đường tiệm cận?

A
$\displaystyle 16$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 14$
D
$\displaystyle 15$

Câu 25

Cho hình nón có bán kính đáy $r = a\sqrt{2}$ , góc ở đỉnh bằng $60^0$ . Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A
$\displaystyle 4\pi a^2$
B
$\displaystyle 3\pi a^2$
C
$\displaystyle \pi a^2$
D
$\displaystyle 2\pi a^2$

Câu 26

Gọi $\ell$ , $h$ , $r$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh $S_{\text{xq}}$ của hình nón đó theo $\ell$ , $h$ , $r$ .

A
$\displaystyle S_{\text{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
B
$\displaystyle S_{\text{xq}} = \pi r h$
C
$\displaystyle S_{\text{xq}} = 2\pi r \ell$
D
$\displaystyle S_{\text{xq}} = \pi r \ell$

Câu 27

Áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao $x$ (đo bằng mét), tức là $P$ giảm theo công thức: $P = P_0 e^{xi}$ , trong đó $P_0 = 760\text{mmHg}$ là áp suất ở mực nước biển $(x = 0)$ , $i$ là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao $1000\text{m}$ thì áp suất của không khí là $672,72$ mmHg. Hỏi áp suất của không khí ở độ cao $12\text{km}$ bằng bao nhiêu? (các kết quả giữ lại sau dấu thập phân $7$ chữ số)

A
$\displaystyle 176,8176855$
B
$\displaystyle 175,8176855$
C
$\displaystyle 178,8176855$
D
$\displaystyle 177,8176855$

Câu 28

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{3}$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

A
$\displaystyle \frac{a}{2}$
B
$\displaystyle \frac{a\sqrt{13}}{2}$
C
$\displaystyle \frac{a\sqrt{39}}{6}$
D
$\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{4}$

Câu 29

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x^2 - 1}}$ bằng

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 4$

Câu 30

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a$ , $AD = A'A = 2a$ . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật đã cho bằng

A
$\displaystyle \frac{9\pi a^2}{4}$
B
$\displaystyle 3\pi a^2$
C
$\displaystyle \frac{3\pi a^2}{4}$
D
$\displaystyle 9\pi a^2$

Câu 31

Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có thể tích bằng

A
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
B
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
C
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
D
$\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Câu 32

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)(x - 2)^2(x - 3)^3(x - 4)^4$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 33

Tập xác định của hàm số $y = (2x - x^2)^{\pi}$ là

A
$\displaystyle [0;2]$
B
$\displaystyle \mathbb{R}$
C
$\displaystyle (0;2)$
D
$\displaystyle (-\infty;0) \cup (2;+\infty)$

Câu 34

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục $DF$ .

Mô hình gồm tam giác vuông AEF và hình vuông ABCD cạnh a quay quanh trục DF

A
$\displaystyle \frac{10\pi}{9}a^3$
B
$\displaystyle \frac{\pi}{3}a^3$
C
$\displaystyle \frac{10\pi}{7}a^3$
D
$\displaystyle \frac{5\pi}{2}a^3$

Câu 35

Tập xác định của hàm số $y = \log_5(x - 2)$ là

A
$\displaystyle [2;+\infty)$
B
$\displaystyle (2;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;2)$
D
$\displaystyle \mathbb{R}$

Câu 36

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & +\infty \\ \hline y' & & - & \parallel & - & 0 & + \\ \hline \end{array}

A
$\displaystyle (-1;+\infty)$
B
$\displaystyle (1;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;-1)$
D
$\displaystyle (-\infty;1)$

Câu 37

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G(x) = 0,035x^2(15 - x)$ , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( $x$ được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

A
$\displaystyle x = 8$
B
$\displaystyle x = 10$
C
$\displaystyle x = 15$
D
$\displaystyle x = 7$

Câu 38

Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số tại $M(1;4)$ .

A
$\displaystyle y = -3x + 1$
B
$\displaystyle y = 3x - 1$
C
$\displaystyle y = -3x - 1$
D
$\displaystyle y = 3x + 1$

Câu 39

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline & +\infty & & & & & 4 & \\ y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & 2 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A
$\displaystyle x = 2$
B
$\displaystyle x = 4$
C
$\displaystyle x = 3$
D
$\displaystyle x = 1$

Câu 40

Trong các hình chóp tứ giác sau, hình chóp nào có mặt cầu ngoại tiếp

A
Hình chóp có đáy là hình bình hành
B
Hình chóp có đáy là hình thang vuông
C
Hình chóp có đáy là hình thang
D
Hình chóp có đáy là hình chữ nhật

Câu 41

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có cực trị?

A
$\displaystyle y = 3x^3 + 3x - 2$
B
$\displaystyle y = 2x^3 - 5x + 1$
C
$\displaystyle y = 3x - 5$
D
$\displaystyle y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$

Câu 42

Cho $(\pi - 2)^m > (\pi - 2)^n$ với $m, n$ là các số nguyên. Khẳng định đúng là

A
$\displaystyle m < n$
B
$\displaystyle m \le n$
C
$\displaystyle m > n$
D
$\displaystyle m \ge n$

Câu 43

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AB = a$ , $AA' = a\sqrt{3}$ . Tính bán kính $R$ của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lăng trụ theo $a$ .

A
$\displaystyle R = \dfrac{a}{2}$
B
$\displaystyle R = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
C
$\displaystyle R = 2a$
D
$\displaystyle R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Câu 44

Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x^2 - 3x}$ là

A
$\displaystyle y' = 2^{x^2 - 3x - 1}$
B
$\displaystyle y' = (2x - 3).2^{x^2 - 3x - 1}$
C
$\displaystyle (2x - 3).2^{x^2 - 3x}.\ln 2$
D
$\displaystyle y' = 2^{x^2 - 3x} \ln 2$

Câu 45

Cho hình trụ có chiều cao bằng $4\sqrt{2}$ . Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $\sqrt{2}$ , thiết diện thu được có diện tích bằng $16$ . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle 16\sqrt{2}\pi$
B
$\displaystyle 12\sqrt{2}\pi$
C
$\displaystyle 8\sqrt{2}\pi$
D
$\displaystyle 24\sqrt{2}\pi$

Câu 46

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-1;5]$ và có đồ thị trên đoạn $[-1;5]$ như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$ bằng

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 1$

Câu 47

Giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 7$ là:

A
$\displaystyle y_{CT} = 3$
B
$\displaystyle y_{CT} = 0$
C
$\displaystyle y_{CT} = 7$
D
$\displaystyle y_{CT} = 2$

Câu 48

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a^2b^3 = 16$ . Giá trị của $2\log_2 a + 3\log_2 b$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 16$
D
$\displaystyle 8$

Câu 49

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2$ cắt đường thẳng $y = m$ tại ba điểm phân biệt.

A
$\displaystyle m \in (0; +\infty)$
B
$\displaystyle m \in (-\infty; -4)$
C
$\displaystyle m \in (-4; 0)$
D
$\displaystyle m \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$

Câu 50

Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị như trong hình bên dưới. Biết rằng $a$ là số thực dương, hỏi trong các số $b, c, d$ có tất cả bao nhiêu số dương?

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$

A
2
B
3
C
0
D
1