Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2025 — Sở GD&ĐT Long An

Giải phương trình sau trên tập số thực: $x^2 - 2x - 3 = \sqrt{x + 3}$.

Giải hệ phương trình

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$ với $CD = 3AB$, hai đường chéo $AC, BD$ vuông góc nhau tại $I$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $DA = 3DM$ và điểm $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$. Đường thẳng $IM$ đi qua điểm $P(10;7)$ và đường thẳng $CN$ có phương trình là $7x + 5y - 37 = 0$. Chứng minh rằng $IM$ vuông góc với $CN$ và tìm tọa độ điểm $C$, điểm $D$ biết $A(2;3)$.

Cho tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác trong góc $A$ và $BM$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ (với $D$ thuộc cạnh $BC$ và $M$ thuộc cạnh $AC$). Biết rằng hai đường thẳng $AD$ và $BM$ vuông góc với nhau và $BM = \dfrac{3}{2}\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}.AD$. Tính $\cos A$.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1 = 0$ và $a_{n+1} = -a_n + 2n + 1$, với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng $a_n = (-1)^n + n$ với mọi $n \geq 1$ và tính tổng 2025 số hạng đầu tiên của dãy số $(a_n)$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 4$ và $u_{n+1} = u_n^2 - 5u_n + 9$, với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{u_1 - 2} + \dfrac{1}{u_2 - 2} + \ldots + \dfrac{1}{u_{2025} - 2} < 1$.