Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025–2026 — Trường THCS Diễn Thành, Nghệ An

Câu 1

4,0 điểm

a)
Tìm $x, y \in Z$ thỏa mãn $x^2 - xy - 3x - 2y = 7$ .
b)
Cho ba số nguyên dương $a_1, a_2, a_3$ có tổng bằng $2025^{2026}$ . Chứng minh rằng $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3$ chia hết cho $3$ .

Câu 2

6,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{x+2}{x+3} - \dfrac{5}{x^2 + x - 6} + \dfrac{1}{2 - x}$ $(x \neq 2, x \neq -3)$
b)
Giải phương trình $(x^2 - 3x)(x^2 + 7x + 10) = 216$
c)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $5$ .

Câu 3

3,0 điểm

a)
Tìm đa thức dư khi chia đa thức $P(x)$ cho đa thức $(x - 1)(x^2 + 4)$ biết $P(x)$ chia cho $x - 1$ được dư là $2026$ và khi chia cho $x^2 + 4$ được dư là $2025x + 6$ .
b)
Gia đình chị Huyền muốn xây một cái bể nhỏ ở góc vườn để chủ động tưới rau, bể có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy $MNPQ$ là hình vuông (hình vẽ). Hãy tìm độ dài cạnh $MN$ của mặt đáy và chiều cao $AM$ của bể sao cho tổng diện tích các mặt làm bể (bao gồm $4$ mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất. Biết rằng thể tích của bể là $4\text{m}^3$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho hình vuông $ABCD$ , $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ . Tia $AE$ cắt đường thẳng $CD$ tại $M$ , tia $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$ . Kẻ tia phân giác của góc $ADB$ tia này cắt $AO$ tại $I$ và $AB$ tại $F$ .

a)
Chứng minh tam giác $AIF$ cân.
b)
Chứng minh $BF = 2OI$ .
c)
Gọi $K$ là giao điểm của $BM$ và $CN$ . Chứng minh $CM^2 = MK.MB$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho một bảng hình vuông có kích thước $5 \times 5$ . Người ta chia bảng đó thành những ô vuông nhỏ có kích thước $1 \times 1$ rồi viết vào mỗi ô vuông đó một trong các số $-1, 0, 1$ sau đó tính tổng theo từng cột, từng dòng và từng đường chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.