Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2025–2026 — Trường THPT Quảng Trị, Quảng Trị

Câu 1

4,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sin 2x + \sqrt{2}(\sin x - 2\cos x) = 2$ .
b)
Cho $\log_{25} 7 = a, \log_{9} 11 = b, \log_{3} 5 = c$ . Tính $\log_{135} 385$ theo $a, b, c$ .

4,0 điểm

a)
Tìm tất cả các giá trị nguyên không vượt quá 10 của tham số $m$ để phương trình
$\log_3^2 27x - 6\log_9 \frac{x}{81} + m\log_3 x + 3m - 23 = 0$
có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 \cdot x_2 \leq 81$ .
b)
Cho điểm $M$ thay đổi trên parabol $y = x^2$ , $H$ là hình chiếu của $M$ trên trục hoành. Gọi $x$ là hoành độ của $H$ . Tính $\lim_{x \to +\infty} OM - MH$ .

4,0 điểm

a)
Cho 2026 số nguyên dương đôi một khác nhau và nhỏ hơn 4.050. Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số để tổng hai số này bằng số kia.
b)
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $SA = 1$ . Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của $SA, SC$ . Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$ biết $BD$ vuông góc với $AE$ .

4,0 điểm

a)
Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng. Xí nghiệp đã nhập về $600kg$ bột mì và $240kg$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120g$ bột mì, $60g$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160g$ bột mì và $40g$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8.000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6.000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng và bao nhiêu chiếc bánh dẻo.
b)
Cho dãy số $u_n$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1; u_2 = 2 \\ u_{n+1} = u_n u_{n-1} + 2 \end{cases}, n \geq 2, n \in \mathbb{N}^*$

.

Đặt $S_n = (u_1^2+1)(u_2^2+1)(u_3^2+1)...(u_n^2+1)-1, n \in \mathbb{N}^*$ . Chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}^*, S_n$ là số chính phương.

4,0 điểm

a)
Tìm hai số thực $a, b$ sao cho hàm số $\frac{\sqrt{2x-1}+ax+b}{(x-1)^2}$ có giới hạn hữu hạn khi $x \to 1$ .
b)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $C'$ di động trên cạnh $SC$ . Mặt phẳng $P$ chứa $AC'$ và song song với đường thẳng $BD$ , $P$ cắt các cạnh $SB$ và $SD$ lần lượt tại $B'$ , $D'$ .

Xác định vị trí của điểm $C'$ trên cạnh $SC$ sao cho $\frac{2BB'}{SB} + \frac{3SD'}{DD'} + \frac{10SC'}{CC'} = 8$ .