Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2025–2026 — Trường THPT số 1 Lê Hồng Phong, Đắk Lắk

Cho hàm số $y = x^2 - 4x + 1$, có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $(d): y = x + 7$. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đồ thị $(P)$.

Tìm giá trị thực $m$ để bất phương trình $(m+1)x^2 - 2mx - m + 3 < 0$ vô nghiệm.

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2 - y = y^2 + x \\ x^2 + 3y^2 = 5 + xy \end{cases}; x, y \in \mathbb{R}$.

Một nhà địa chất đang ở vị trí $A$ trên sa mạc, cách con đường thẳng $10 km$ ($AN = 10 km$). Trên con đường, xe của nhà địa chất chạy với vận tốc $50 km/h$, còn trên sa mạc chỉ chạy với vận tốc $30 km/h$. Nhà địa chất cần đi đến trạm xăng tại vị trí $P$ nằm trên con đường, biết rằng $NP = 25 km$. Trên đoạn đường từ vị trí $N$ đến trạm xăng $P$ có một vị trí $M$, nhà địa chất muốn đi từ vị trí $A$ qua sa mạc đến vị trí $M$ rồi đi trên đường đến trạm xăng $P$ (như hình vẽ).

Biết tổng thời gian nhà địa chất đi hết $46$ phút. Hỏi vị trí $M$ cách vị trí $N$ bao nhiêu kilômét ($km$).

Cho tam giác $ABC$ có $AB = c; AC = b; BC = a$. Gọi $h_a$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$, $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. Giả sử tam giác $ABC$ thỏa mãn $h_a = \sqrt{p(p-a)}$. Chứng minh $ABC$ là tam giác cân.

Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $I, J, K$ sao cho $\overrightarrow{IB} - 3\overrightarrow{IC} = \vec{0}$, $\overrightarrow{JA} = 3\overrightarrow{CJ}$, $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \vec{0}$. Chứng minh ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng.