Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 10 năm 2024–2025 — Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh PhúcMã đề 101

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1)$ và trọng tâm $G(2;1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ là

Cho phương trình $\sqrt{2x^2 - 6x + m} = x - 1$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

Đường tròn $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 25$ cắt đường thẳng $\Delta: x - y + 2 = 0$ theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Parabol $y = ax^2 + bx + c$ đi qua $A(8;0)$ và có đỉnh $I(6;-12)$ có phương trình là:

Tính $\tan \alpha$, biết $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Cho hai tập hợp $A = (m - 1; 5]$, $B = (3; 2025 - 5m)$ và $A, B$ khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \setminus B = \varnothing$?

Cho tam giác đều $ABC$, lấy điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{BD}$. Gọi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ADC$. Tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng

Giả sử $CD = h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Chọn hai điểm $A, B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Ta đo được $AB = 24m$, $\widehat{CAD} = 63^{\circ}$; $\widehat{CBD} = 48^{\circ}$. Chiều cao $h$ của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \sqrt{x^2 - 2mx - 2m + 3}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$

Cho parabol $y = ax^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hai tập hợp $A = [-3; 7], B = (-1; 10]$. Tập hợp $A \cap B$ chứa bao nhiêu số nguyên?

Hàm số $y = 2x^2 - 4x + 3$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hình bình hành $ABCD$, với $AB = 2$, $AD = 1$, $\widehat{BAD} = 60^{\circ}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ bằng

Hàm số $y=-x^2+2x+m-4$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-1;2]$ bằng $3$ khi $m$ thuộc

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 3x+y \ge 9 \\ x \ge y-3 \\ 2y \ge 8-x \\ y \le 6 \end{cases}$ chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

Bác Nam có kế hoạch đầu tư không quá 240 triệu đồng vào sản phẩm $X$ và sản phẩm $Y$. Để đạt được lợi nhuận thì sản phẩm $Y$ phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng và số tiền đầu tư cho sản phẩm $X$ phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho sản phẩm $Y$. Khi đó:

Cho hàm số $y=f(x)=ax^2+bx+c$ có đồ thị $(P)$ (như hình vẽ dưới).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $I(6;2)$ và các điểm $M(1;5), N(3;4)$ lần lượt thuộc các đường thẳng $AB, BC$. Biết rằng trung điểm $E$ của cạnh $CD$ thuộc đường thẳng $\Delta: x+y-5=0$ và hoành độ của điểm $E$ nhỏ hơn 7. Khi đó:

Cho tam giác $ABC$ có $A(4;1), B(2;4), C(2;-2)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một nhóm 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ trong đó có một bạn nữ tên An và một bạn nam tên Bình. Xếp nhóm học sinh đó thành một hàng ngang.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có $x$ con cá $(x \in \mathbb{Z}^{+})$ thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là $480 - 20x$ (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Từ các chữ số $\{1;2;3;4;5;6\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau mà số đó luôn có mặt chữ số 1?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(3;4), B(2;1), C(-1;-2)$. Biết điểm $M(x;y)$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $S_{ABC} = 4S_{ABM}$. Khi đó hiệu $x - y$ bằng bao nhiêu?

Một viên đạn pháo được bắn ra từ khẩu pháo đặt trên mặt đất, có vận tốc ban đầu là $v_0$ (m/s) hợp với phương ngang một góc $\alpha = 45^{\circ}$, bay qua một đỉnh núi có độ cao 4.680 m so với mặt đất và bắn trúng mục tiêu cách vị trí bắn một khoảng bằng 30 km. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì quỹ đạo chuyển động của viên đạn là $y = \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \cdot x^2 + x \cdot \tan \alpha$ ($x$ (mét) là khoảng cách của viên đạn pháo bay được theo phương ngang (tầm xa của viên đạn pháo), $y$ (mét) là độ cao so với mặt đất của viên đạn pháo trong quá trình bay (tầm cao của viên đạn pháo), $g = 9,8$ m/s$^2$). Khoảng cách ngắn nhất tính từ vị trí đặt khẩu pháo tới đỉnh núi bằng bao nhiêu?

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn: $2(a^2 + b^2) + ab = (a + b)(ab + 2)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}\right) - 4\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)$ là phân số tối giản $-\frac{m}{n}$. Tính tổng giá trị $m + n$?

Lớp $10A$ có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia thi môn Toán, 24 học sinh tham gia thi môn Vật lí và 9 học sinh không tham gia môn thi nào. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp $10A$ tham gia đồng thời hai môn thi trên?

Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 50 khách du lịch đầu tiên có giá là 360.000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 khách du lịch đăng kí thì cứ có thêm 1 khách du lịch, giá vé sẽ giảm 6.000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Hỏi số người của nhóm khách du lịch ít nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ. Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 18.096.000 đồng.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(5; -2)$, $B(7; 3)$, $C(-9; 1)$. Điểm $I\left(\frac{a}{b}; 0\right)$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) nằm trên trục $Ox$ sao cho $\left|\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}\right|$ ngắn nhất. Tính giá trị $a + b$?

Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ sao cho $\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$. Điểm $M$ di động trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{BM} = x.\overrightarrow{BC}$. Độ dài vectơ $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = \frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Người ta thiết kế một bến phà như hình vẽ bên dưới. Khi phà di chuyển từ bờ $M$ sang bờ $N$ với vận tốc $v_1 = 10$ (m/s) theo hướng vuông góc với bờ, do nước chảy với vận tốc $v_2 = 6$ (m/s) cùng phương với bờ nên phà sẽ đi theo hướng của vectơ $\vec{v}$ là vectơ tổng của hai vectơ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ (tham khảo hình vẽ). Hãy tính vận tốc $v$ của phà khi đi từ bờ $M$ sang bờ $N$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).