Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2024–2025 — Trường THPT Thuận Thành số 1, Bắc NinhMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 41 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn7,0 điểm

Câu 1

Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên) biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

Hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình với hai đường thẳng cắt nhau

A
$\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y > 6 \\ x - 4y < 4 \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y \ge 6 \\ x - 4y \le 4 \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y > 6 \\ 4x - y < 4 \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y < 6 \\ x - 4y > 4 \end{cases}$

Câu 2

Trong các parabol có phương trình sau, parabol nào có đỉnh là điểm $I(2; -1)$ ?

A
$\displaystyle y = x^2 - 4x + 5$
B
$\displaystyle y = -x^2 + 4x - 5$
C
$\displaystyle y = x^2 + 4x - 13$
D
$\displaystyle y = -x^2 + 2x - 1$

Câu 3

Từ một nhóm có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ?

A
$\displaystyle 30$
B
$\displaystyle 35$
C
$\displaystyle 21$
D
$\displaystyle 18$

Câu 4

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Biết $|\vec{a}| = 2$ , $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^{\circ}$ . Tính $\vec{a}.\vec{b}$ ?

A
$\displaystyle \vec{a}.\vec{b} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \vec{a}.\vec{b} = -\sqrt{3}$
C
$\displaystyle \vec{a}.\vec{b} = -2\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \vec{a}.\vec{b} = \sqrt{3}$

Câu 5

Hàm số $y = -x^2 + 2x - 5$ đồng biến trên khoảng:

A
$\displaystyle (-1; +\infty)$
B
$\displaystyle (-\infty; 2)$
C
$\displaystyle (-\infty; 1)$
D
$\displaystyle (1; +\infty)$

Câu 6

Cho hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực $m$ thì phương trình $f(|x|) + 1 = m$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

Đồ thị hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ là parabol có đỉnh tại $(2;-1)$ và cắt trục tung tại $y=3$

A
$\displaystyle m > 0$
B
$\displaystyle m = 2$
C
$\displaystyle m > -1$
D
$\displaystyle m = 4$

Câu 7

Cặp số $(1; -1)$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A
$\displaystyle 2x + y > 3$
B
$\displaystyle 3x - 4y \leq 3$
C
$\displaystyle x + 2y \leq 3$
D
$\displaystyle x + 2y \geq 0$

Câu 8

Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3\}$ , $B = \{2; 3; 4\}$ . Khi đó:

A
$\displaystyle A \cap B = \{2; 3\}$
B
$\displaystyle A \cap B = \{1\}$
C
$\displaystyle A \cap B = \{4\}$
D
$\displaystyle A \cap B = \{1; 2; 3; 4\}$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ với $BC = a, CA = b, AB = c$ , $S$ là diện tích tam giác và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$
B
$\displaystyle S = \dfrac{1}{2}ab \cos C$
C
$\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
D
$\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = R$

Câu 10

Một hộp đựng 5 quả cầu đỏ và 8 quả cầu vàng (các quả cầu có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu cùng màu từ hộp trên?

A
$\displaystyle 396$
B
$\displaystyle 560$
C
$\displaystyle 66$
D
$\displaystyle 69$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;1)$ , $B(0;-2)$ , $C(4;2)$ . Đường trung tuyến của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ có phương trình là

A
$\displaystyle x + y - 2 = 0$
B
$\displaystyle x + 2y - 3 = 0$
C
$\displaystyle x - y = 0$
D
$\displaystyle 2x + y - 3 = 0$

Câu 12

Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

A
$\displaystyle y = -x^2 - 2x + 3$
B
$\displaystyle y = x^2 - 2x - 1$
C
$\displaystyle y = 2x^2 - 4x - 2$
D
$\displaystyle y = x^2 + 2x - 2$

Câu 13

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $4a$ , có $AH$ là đường cao. Tính độ dài $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}$ bằng

A
$\displaystyle a\sqrt{13}$
B
$\displaystyle 2a\sqrt{13}$
C
$\displaystyle 2a\sqrt{3}$
D
$\displaystyle 2a\sqrt{3}$

Câu 14

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: ``\exists x: x^2 + 2x + 5$ là số nguyên tố'' là:

A
$\overline{P}: ``\forall x: x^2 + 2x + 5$ không là số nguyên tố''
B
$\overline{P}: ``\exists x: x^2 + 2x + 5$ là hợp số''
C
$\overline{P}: ``\exists x: x^2 + 2x + 5$ là số thực''
D
$\overline{P}: ``\forall x: x^2 + 2x + 5$ là hợp số''

Câu 15

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 - 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$

. Véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là

A
$\displaystyle \vec{u} = (1; -3)$
B
$\displaystyle \vec{u} = (2; -3)$
C
$\displaystyle \vec{u} = (-1; 3)$
D
$\displaystyle \vec{u} = (-2; -3)$

Câu 16

Cho tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ , $\Delta = b^2 - 4ac$ . Ta có $f(x) \leq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi

A
$\displaystyle \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \geq 0 \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} a \leq 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}$

Câu 17

Lớp 10D có 19 học sinh giỏi môn Toán, 16 học sinh giỏi môn Vật lí và 15 học sinh giỏi môn Hóa học. Trong đó có 5 học sinh giỏi cả hai môn Toán và môn Vật lí, 5 học sinh giỏi cả hai môn Vật lí và môn Hóa học, 5 học sinh giỏi cả hai môn Toán và môn Hóa học và có 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Vật lí, Hóa học. Ngoài ra, trong lớp có 6 học sinh không giỏi môn nào trong ba môn Toán, Vật lí, Hóa học. Tìm số học sinh của lớp 10D?

A
44
B
43
C
42
D
40

Câu 18

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $x^2 - 6x - 16 < 0$ là

A
8
B
11
C
10
D
9

Câu 19

Cho $\sin x + \cos x = m$ . Tính theo $m$ giá trị của $M = \sin x \cdot \cos x$

A
$\displaystyle \dfrac{m^2 - 1}{2}$
B
$\displaystyle m^2 - 1$
C
$\displaystyle m^2 + 1$
D
$\displaystyle \dfrac{m^2 + 1}{2}$

Câu 20

Cho hai véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 3; |\vec{a} - \vec{b}| = 4$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Chọn phát biểu đúng.

A
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{1}{3}$
B
$\displaystyle \alpha = 60^{\circ}$
C
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{3}{8}$
D
$\displaystyle \alpha = 30^{\circ}$

Câu 21

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $I$ . Chọn khẳng định đúng:

A
$\displaystyle \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AI}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CB}$

Câu 22

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d: x - 2y + 3 = 0$ . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là

A
$\displaystyle \vec{n} = (2; 1)$
B
$\displaystyle \vec{n} = (-2; 3)$
C
$\displaystyle \vec{n} = (1; 3)$
D
$\displaystyle \vec{n} = (1; -2)$

Câu 23

Tìm giá trị của tham số $m$ để đỉnh $I$ của đồ thị hàm số $y = x^2 - 2x + m$ thuộc đường thẳng $y = x + 2023$ .

A
$\displaystyle m = 2019$
B
$\displaystyle m = 2024$
C
$\displaystyle m = 2023$
D
$\displaystyle m = 2025$

Câu 24

Cho biết $\cos \alpha = -\dfrac{2}{3}$ . Giá trị của biểu thức $E = \dfrac{\cot \alpha - 3\tan \alpha}{2\cot \alpha - \tan \alpha}$ bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle -\dfrac{25}{13}$
B
$\displaystyle -\dfrac{25}{3}$
C
$\displaystyle -\dfrac{11}{13}$
D
$\displaystyle -\dfrac{11}{3}$

Câu 25

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A, B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^{\circ}$ và $38^{\circ}$ . Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Hình vẽ minh họa đo chiều cao ngọn núi với các điểm A, B, C, D và góc $34^{\circ}$, $38^{\circ}$

A
$\displaystyle 244,8m$
B
$\displaystyle 246,8m$
C
$\displaystyle 264,8m$
D
$\displaystyle 266,8m$

Câu 26

Hàm số nào sau đây có tập xác định $D = \mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = \sqrt{x - 2}$
B
$\displaystyle y = 1 - x$
C
$\displaystyle y = \dfrac{x - 2}{x + 2}$
D
$\displaystyle y = -\sqrt{-x^2 + x}$

Câu 27

Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển biểu thức sau: $f(x) = (1 - 2x)^{10}$

A
$\displaystyle -15.363$
B
$\displaystyle 15.363$
C
$\displaystyle -15.360$
D
$\displaystyle 15.360$

Câu 28

Cho tứ giác $ABCD$ . Có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?

A
$\displaystyle 12$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 6$

Câu 29

Có bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số đó thuộc tập hợp $\{1;2;3;\ldots;9\}$ ?

A
$\displaystyle C_{9}^{3}$
B
$\displaystyle 9^{3}$
C
$\displaystyle 3^{9}$
D
$\displaystyle A_{9}^{3}$

Câu 30

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^{2}-4x+3\sqrt{4x-x^{2}+3m-4}=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

A
$\displaystyle m>\dfrac{7}{12}$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{12}<m\le \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle \begin{cases} \dfrac{2}{3}<m<\dfrac{4}{3} \\ m=\dfrac{7}{12} \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} \dfrac{2}{3}<m\le \dfrac{4}{3} \\ m=\dfrac{7}{12} \end{cases}$

Câu 31

Cho hàm số $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $(a,b,c\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $f(0)=1$ có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số f(x): Hàm số f nghịch biến trên (−∞; 1), đồng biến trên (1; +∞), đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −1.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(f(x)+m)=1$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 32

Trong mặt phẳng có $2023$ điểm phân biệt, bạn Minh kí hiệu các điểm phân biệt đó ngẫu nhiên là $A_{1}, A_{2},\ldots,A_{2023}$ . Bạn Bình kí hiệu các điểm phân biệt đó ngẫu nhiên là $B_{1}, B_{2},\ldots,B_{2023}$ ( $A_{1}$ không trùng với $B_{2023}$ ). Khi đó $\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{A_{2}B_{2}}+\ldots+\overrightarrow{A_{2023}B_{2023}}$ bằng

A
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}B_{2023}}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{B_{1}B_{2023}}$
C
$\displaystyle \vec{0}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}A_{2023}}$

Câu 33

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $(2x-m)\sqrt{5+4x-x^{2}}>0$ có nghiệm?

A
$\displaystyle 10$
B
Vô số
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 8$

Câu 34

Cho tam giác $ABC$ . Gọi $D$ là điểm xác định bởi hệ thức $5\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$ và $I$ là trung điểm của $AD$ . Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AC}$ với $m$ là số thực. Tìm giá trị của $m$ để ba điểm $B,I,M$ thẳng hàng.

A
$\displaystyle m=\dfrac{5}{7}$
B
$\displaystyle m=\dfrac{2}{7}$
C
$\displaystyle m=\dfrac{4}{7}$
D
$\displaystyle m=\dfrac{3}{7}$

Câu 35

Cho hai tập hợp $M=[2m-1; 2m+5]$ và $N=[m+1; m+7]$ (với $m$ là tham số thực). Tổng tất cả các giá trị của $m$ để $M\cup N$ là một đoạn có độ dài bằng $10$ là

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle 10$

Phần II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình sau minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng tọa độ $Oth$ , trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Biết rằng tại thời điểm $2s$ , quả bóng đó lên đến vị trí cao nhất là $8\,\text{m}$ rồi bắt đầu rơi xuống. Hỏi ở giây thứ bao nhiêu thì độ cao của quả bóng khi rơi xuống bằng $6\,\text{m}$ ?

Đồ thị hàm số $h(m)$ theo $t(s)$ là một parabol có đỉnh tại $(2;8)$ và đi qua gốc tọa độ $O$

Trả lời:

Câu 2

Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, Trường THPT THUẬN THÀNH 1 tổ chức cho các lớp gói bánh chưng, bánh tét. Mỗi lớp được sử dụng tối đa $10\text{kg}$ gạo nếp, $1\text{kg}$ thịt và $1,6\text{kg}$ đậu xanh. Để gói 1 cái bánh chưng cần $0,5\text{kg}$ gạo nếp, $0,05\text{kg}$ thịt và $0,1\text{kg}$ đậu xanh. Để gói 1 cái bánh tét cần $0,75\text{kg}$ gạo nếp, $0,075\text{kg}$ thịt và $0,1\text{kg}$ đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng bán được $30$ ngàn đồng, mỗi cái bánh tét bán được $40$ ngàn đồng. Hỏi mỗi lớp kiếm được số tiền nhiều nhất là bao nhiêu ngàn đồng?

Trả lời:

Câu 3

Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí $A$ , các điểm cần phát thư nằm dọc các con đường cần đi qua. Biết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất có thể là bao nhiêu?

Sơ đồ các con đường nối các đỉnh $A, B, C, D, E$ với độ dài $AB=8$, $AE=6$ và $7$, $EB=10$, $BD=4$, $BC=5$, $CD=2$, $ED=9$ như hình vẽ

Trả lời:

Câu 4

Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi phải vòng qua núi như mô hình (hình 3). Biết $AB = 11\text{km}$ ; $BC = 10\text{km}$ ; $CD = 8\text{km}$ và $\widehat{ABC} = 101^\circ$ ; $\widehat{BCD} = 145^\circ$ . Tính khoảng cách giữa vị trí $A$ và vị trí $D$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Mô hình đường gấp khúc $ABCD$ với $AB=11\text{km}$, $BC=10\text{km}$, $CD=8\text{km}$, $\widehat{ABC}=101^\circ$, $\widehat{BCD}=145^\circ$

Trả lời:

Câu 5

Cho tam giác $ABC$ có $AB = c$ , $BC = a$ , $CA = b$ . Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\dfrac{CM}{AD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Giá trị của $\cos A$ là $\dfrac{m}{n}$ với $m; n \in \mathbb{N}^*$ ; $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2 - 2m$ .

Trả lời:

Câu 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có điểm $M(2;3)$ là trung điểm của cạnh $AB$ , điểm $H(1;5)$ và điểm $K(5;9)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $C$ và $B$ . Biết điểm $B$ có hoành độ dương. Giả sử tọa độ điểm $C$ là $C(a;b)$ . Tính $a + b$ .

Trả lời:

HẾT