Đề tham khảo thi chọn học sinh giỏi THPT môn Toán năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Sóc Trăng

Câu 1

3,0 điểm

Giải phương trình sau:

x^{2}+5x-7+\left(x^{2}-6x+8\right)\cos x=\left(2x^{2}-x+1\right)\cos x+\left(x^{2}+5x-7\right)\sin^{2}x

Câu 2

4,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=4$ , $BC=2$ . Đường tròn $(C_{1})$ tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ , $BC$ , $CD$ và đường tròn $(C_{2})$ tâm $J$ bán kính $\dfrac{4}{5}$ tiếp xúc với các cạnh $CD$ , $AD$ . Đường tròn $(C)$ tâm $K$ là đường tròn tiếp xúc hai đường tròn $(C_{1})$ , $(C_{2})$ và cạnh $AB$ . Tính diện tích hình tròn $(C)$ .

Hình chữ nhật ABCD với đường tròn (C1) tâm I, đường tròn (C2) tâm J và đường tròn (C) tâm K tiếp xúc với cạnh AB

Câu 3

6,0 điểm

1)
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $5\text{m}$ trên mỗi cạnh $AB$ , $BC$ , $CD$ , $AD$ lấy $4$ điểm cách đều nhau. Có bao nhiêu tam giác cân và tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm đó với các đỉnh của hình vuông.
2)
Hai học sinh An và Bình cùng tham gia một kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh. Biết rằng bạn An thi có giải với xác suất là $0,5$ . Nếu bạn An thi không có giải và bạn Bình có giải thì có xác suất là $0,2$ . Tính xác suất để hai bạn đều không có giải.

Câu 4

7,0 điểm

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ và $O$ , $O'$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$ , $A'B'C'D'$ . Gọi $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ , $BC$ , $CD$ , $AD$ .

1)
Tính khoảng cách hai đường thẳng $NO'$ và đường thẳng $PQ$ .
2)
Gọi $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A'B'$ , $B'C'$ , $C'D'$ , $A'D'$ . Khi đó một vật thể $(\alpha)$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M'N'P'Q'$ , $O'.MNPQ$ . Tính thể tích vật thể $(\alpha)$ .