Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Trường THCS Trưng Vương, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức:

$A = -\frac{2\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}} \text{ và } B = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \frac{2\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} \text{ với } x > 0, x \ne 1.$

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Tìm $x$ để biểu thức $P = A : B$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Câu II

2,0 điểm

Giải toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ làm xong. Nếu người công nhân thứ nhất làm riêng trong 3 giờ rồi dừng lại và người công nhân thứ hai làm tiếp công việc đó trong 1,5 giờ thì cả hai công nhân đã hoàn thành được 40% công việc. Hỏi nếu mỗi công nhân làm riêng thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc trên?

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 2x + \dfrac{3}{\sqrt{y}-1} = 9 \\ x - \dfrac{2}{\sqrt{y}-1} = 1 \end{cases}.$
2)
Cho phương trình bậc hai ẩn $x$ : $x^{2} - (m-1)x - m + 3 = 0$ (1)
1. a)
  Giải phương trình (1) khi $m = -5$ .
2. b)
  Tìm $m$ để (1) có hai nghiệm trái dấu $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} - |x_{2}| = 3$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ . Điểm $C$ trên nửa đường tròn ( $C$ khác $A$ và $B$ ), gọi $D$ là điểm chính giữa cung $AC$ . Tia $AD$ cắt tia $BC$ tại $E$ , $AC$ cắt $BD$ tại $H$ , tia $EH$ cắt đường kính $AB$ tại $F$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $C, E, D, H$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn đó.
2)
Chứng minh $HC.HA = HD.HB$ và tam giác $HCF$ là tam giác cân.
3)
Lấy điểm $T$ đối xứng với điểm $H$ qua $O$ . Gọi $K$ là giao điểm của $ET$ và $BD$ . Gọi $S$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $HT$ với đường tròn $(I)$ đường kính $EH$ . Chứng minh $IK$ vuông góc với $ES$ .

Câu V

0,5 điểm

Với các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a, b, c \le \dfrac{1}{2}$ và $a + b + c = \dfrac{3}{4}$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$M = a^{2} + b^{2} + c^{2}.$

HẾT