Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 — Trường THPT Nguyễn Gia Thiều, Hà NộiMã đề 1201

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Vectơ nào sau đây cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{A'C}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{CB}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{A'B'}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{A'B}$

Câu 2

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là:

A
$\displaystyle y = 0$
B
$\displaystyle y = 1$
C
$\displaystyle x = 1$
D
$\displaystyle x = 2$

Câu 3

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; −1); y′ = 0 tại x = −1; y′ < 0 trên (−1; 0); y′ không xác định tại x = 0; y′ < 0 trên (0; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ > 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 0) và (0; 1), đạt cực đại tại x = −1 với y(−1) = 2, đạt cực tiểu tại x = 1 với y(1) = 4.

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm:

A
$\displaystyle x = 2$
B
$\displaystyle x = -1$
C
$\displaystyle x = 1$
D
$\displaystyle x = 4$

Câu 4

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận trục $Oy$ là đường tiệm cận đứng?

A
$\displaystyle y = x^2$
B
$\displaystyle y = \sin x$
C
$\displaystyle y = \log_3 x$
D
$\displaystyle y = 2^x$

Câu 5

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[-2;2]$ , có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-2;2]$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle -1$

Câu 6

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM}=(1;5;2)$ , $\overrightarrow{NO}=(-3;-7;4)$ . Gọi $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $N$ . Khi đó $\overrightarrow{OP}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ . Tính $a+b+c$

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 14$
D
$\displaystyle 10$

Câu 7

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{5}{x+1}-3x+1$ có phương trình là:

A
$\displaystyle y=x+1$
B
$\displaystyle y=-3x+1$
C
$\displaystyle y=3x-1$
D
$\displaystyle y=3x+1$

Câu 8

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=5x^2+1$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A
$\displaystyle f(-1) \geq f(1)$
B
$\displaystyle f(-1) < f(1)$
C
$\displaystyle f(-1) > f(1)$
D
$\displaystyle f(-1)=f(1)$

Câu 9

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; 0); y′ = 0 tại x = 0; y′ < 0 trên (0; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ > 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên (0; 1), đạt cực đại tại x = 0 với y(0) = −1, đạt cực tiểu tại x = 1 với y(1) = −2.

Khoảng đồng biến trên của hàm số $y=f(x)$ là:

A
$\displaystyle (0;+\infty)$
B
$\displaystyle (-\infty;0)$
C
$\displaystyle (-\infty;1)$
D
$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$

Câu 10

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$
C
$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

Câu 11

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và đồng biến trên $[-3;2]$ . Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;2]$ là:

A
$\displaystyle f(2)$
B
Không tồn tại
C
$\displaystyle f(0)$
D
$\displaystyle f(-3)$

Câu 12

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{OM}=5\vec{j}+3\vec{i}-7\vec{k}$ . Tìm tọa độ điểm $M'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ .

A
$\displaystyle M'(0;5;-7)$
B
$\displaystyle M'(3;0;-7)$
C
$\displaystyle M'(3;5;-7)$
D
$\displaystyle M'(3;5;0)$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $500$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2000x^2+1.000.000x+550.000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x-2000+\dfrac{550.000}{x}$ (đồng). Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Nếu doanh nghiệp sản xuất $10$ sản phẩm thì chi phí là $530.100$ (đồng)
b)
Doanh thu khi doanh nghiệp bán được $10$ sản phẩm là $10.351.000$
c)
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được khi bán được $x$ sản phẩm là
$L(x) = x^3 - 2000x^2 + 1.000.000x + 550.000$
d)
Doanh nghiệp cần sản xuất $335$ sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A'(0;0;3)$ . Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' trong hệ trục tọa độ Oxyz

a)
Tọa độ điểm $C(2;2;0)$
b)
Tọa độ điểm $C'(2;2;3)$
c)
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{B'C'}=(2;0;2)$
d)
Lấy điểm $E$ sao cho $C$ là trung điểm của đoạn $C'E$ . Khi đó: $\overrightarrow{OE} = -2\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ , $SA=2a$ . Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$ . Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O

a)
$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}$
b)
$\overrightarrow{SA}.\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \vec{0}$
c)
$6\overrightarrow{IG} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AS}$
d)
Lấy điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AM} + k.\overrightarrow{AC} = \vec{0}$ . Khi đó $\overrightarrow{MG} \perp \overrightarrow{BD}$ $\forall k \neq 0$

Câu 4

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$
b)
Điểm cực tiểu của hàm số là $x = -1$
c)
Giả sử hàm số $f(x)$ đã cho có hai điểm cực trị là $x_1, x_2$ . Khi đó giá trị $x_1 . x_2 = -1$
d)
Gọi $A, B$ lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f(x) + 1$ . Độ dài đoạn thẳng $AB$ là $2\sqrt{5}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) < 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) < 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞).

Khi đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ , với $a, b \in \mathbb{Z}$ . Tìm giá trị lớn nhất của $b - a$ .

Trả lời:

Câu 2

Cho hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$ . Tìm giá trị cực đại của hàm số đã cho.

Trả lời:

Câu 3

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian $t$ được cho bởi công thức $y(t) = 4 + \dfrac{9t^2 - 15t + 5}{9t^2 + 1}$ , với $y$ được tính theo $mg/l$ và $t$ được tính theo giờ, $t \ge 0$ . Hỏi khi thời gian càng tăng lên thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng $a$ $(mg/l)$ . Tìm $a$ .

Trả lời:

Câu 4

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng $3$ . Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ đặt tại tâm của hình vuông, chiều dương của trục $Oz$ đi qua $S$ . Biết tọa độ điểm $C(2; 0; 0)$ và tọa độ của $\overrightarrow{SA} = (a; b; c)$ . Tính $a^2 + b^2 + c^2$ .

Hình chóp đều S.ABCD với hệ trục tọa độ Oxyz

Trả lời:

Câu 5

Một khung nhà bằng thép có dạng hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ với độ dài cạnh bằng $4m$ . Để tăng độ ổn định, các kỹ sư dự định lắp thêm đoạn dây cáp $MN$ song song với $BD'$ (đường chéo không gian của khung). Giả sử trên thanh thép $AC'$ lấy điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow{MA} - x\overrightarrow{MC'} = \vec{0}$ và trên thanh thép $DC'$ lấy điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{ND} = y\cdot\overrightarrow{DC'}$ , trong đó $x, y$ là các tỉ số vị trí của hai đầu dây cáp. Hỏi khi dây cáp $MN$ được lắp đặt song song với đường chéo $BD'$ thì chi phí cần trả cho đoạn dây cáp $MN$ là bao nhiêu, biết giá mỗi mét dây cáp là $500$ (nghìn đồng). (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Câu 6

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, một doanh nghiệp muốn sản xuất những chiếc vi mạch với bản thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật, kích thước $a (pm) \times b (pm)$ với $1pm = 10^{-12} m$ . Doanh nghiệp đã tính toán được các loại chi phí như sau: Công ty chi phí $50$ (triệu đồng) cho tiền nguyên vật liệu nhập về ban đầu. Để sản xuất mỗi chiếc vi mạch sẽ phải chi phí $15$ (triệu đồng) cho $1pm$ tiền gia công lắp màng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và chi phí $32$ (triệu đồng) cho $1pm^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả $2$ bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Biết rằng chi phí để phủ chất làm mát bao quanh cả $2$ bề mặt luôn gấp đôi chi phí gia công lắp màng Silic xung quanh thành của mỗi chiếc vi mạch đó. Nếu các loại chi phí thống kê như trên thì đơn giá bán ra của mỗi chiếc vi mạch là $428$ (triệu đồng / $pm^2$ ). Hỏi khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất là bao nhiêu $pm$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trả lời:

HẾT