Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 — Trường THPT Lạng Giang số 1, Bắc NinhMã đề 1201

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ với trục $Ox$ là

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 2

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 2); f′(x) = 0 tại x = 2; f′(x) < 0 trên (2; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −1) và (2; +∞), đồng biến trên (−1; 2), đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = −2, đạt cực đại tại x = 2 với f(2) = 4.

A
$\displaystyle (-2;4)$
B
$\displaystyle (2;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;-1)$
D
$\displaystyle (-1;2)$

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ (với $c \neq 0, ad-bc \neq 0$ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$

A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
B
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
C
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$
D
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$

Câu 4

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$

A
$\displaystyle y = \frac{3x-1}{x-2}$
B
$\displaystyle y = -x^3 - 3x + 4$
C
$\displaystyle y = x^3 + 3x^2 + 7x + 5$
D
$\displaystyle y = x^4 - 2x^2 - 3$

Câu 5

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Đồ thị hàm số bậc ba có điểm cực tiểu $(0;-4)$ và điểm cực đại $(2;0)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$

A
$\displaystyle y = -x^3 - 3x^2 - 4$
B
$\displaystyle y = x^3 + 3x^2 - 4$
C
$\displaystyle y = x^3 - 3x - 4$
D
$\displaystyle y = -x^3 + 3x^2 - 4$

Câu 6

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=4, \widehat{BAC}=60^{\circ}, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=6$ . Khi đó độ dài $\overrightarrow{AC}$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 6$

Câu 7

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Bảng xét dấu: f′(x) < 0 trên (−∞; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; 2); f′(x) không xác định tại x = 2; f′(x) > 0 trên (2; 3); f′(x) không xác định tại x = 3; f′(x) < 0 trên (3; 4); f′(x) = 0 tại x = 4; f′(x) > 0 trên (4; +∞).

Kết luận nào sau đây đúng

A
Hàm số có 2 điểm cực tiểu
B
Hàm số có 2 điểm cực trị
C
Hàm số có 4 điểm cực trị
D
Hàm số có 2 điểm cực đại

Câu 8

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2;2]$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ . Khi đó, tổng $M+m$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -6$

Câu 9

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^{3}+3x-6$ trên đoạn $[1;3]$ là

A
$\displaystyle 36$
B
$\displaystyle 30$
C
$\displaystyle 39$
D
$\displaystyle 10$

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A$ thỏa $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ và $B(2;1;4)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là

A
$\displaystyle (0;-4;0)$
B
$\displaystyle (4;-2;8)$
C
$\displaystyle (-1;-1;2)$
D
$\displaystyle (-2;-2;4)$

Câu 11

Hình ảnh dưới đây là phân độ của 8 hướng trên la bàn. Mệnh đề nào sau đây sai?

A
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương
B
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ ngược hướng
C
Hai vectơ $\vec{b}$ và $\vec{d}$ cùng phương
D
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng

Câu 12

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{4x+1}{2x-2}$ là

La bàn 8 hướng với các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$

A
$\displaystyle x=1$
B
$\displaystyle y=2$
C
$\displaystyle y=1$
D
$\displaystyle x=2$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+1}$ với $a,b,c\in\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên

a)
Đạo hàm của hàm số $f'(x)<0, \forall x\in\mathbb{R}$
b)
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty)$ và đồng biến trên khoảng $(-\infty;1)$
c)
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$
d)
Tổng $a+b+c=5$

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a$ và $AA' = a\sqrt{2}$ . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a)
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$
b)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ khi đó $\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B'} - \overrightarrow{CM}$
c)
$\overrightarrow{A'M} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
d)
Góc giữa vectơ $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{BC'}$ bằng $60^{\circ}$

Câu 3

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{mx + n}$ (với $a, m \neq 0$ ) có đồ thị là đường cong như Hình

Đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{ax^{2}+bx+c}{mx+n}$

a)
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty)$
b)
$f(2025) < f(2026)$
c)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: $x = -3$ và đường tiệm cận xiên: $y = x + 1$
d)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) + 3m$ trên đoạn $(-2;0)$ bằng $7$ khi $m = 2$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 2$

a)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$
b)
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$
c)
Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$
d)
Giá trị lớn nhất của hàm số trên $(-1;1)$ bằng $2$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Một nhà hàng có tổng cộng $30$ nhân viên và chi trả mức lương cố định cho mỗi nhân viên thường xuyên tăng ca là $400$ USD/tháng. Vì nhà hàng liên tục đón những đoàn khách với số lượng lớn nhưng không thể thuê thêm nhân viên nên chủ nhà hàng này muốn khuyến khích nhân viên của mình tăng ca. Ông chủ quyết định cứ một nhân viên quyết định tăng ca thì mức lương của tất cả nhân viên tăng ca trong nhà hàng đều được tăng thêm $2\%$ . Tương tự, nếu $k$ nhân viên tăng ca thì lương cho mỗi người sẽ tăng $2k\%$ . Bên cạnh tiền lương cho nhân viên thì tiền điện nước và duy trì cơ sở vật chất là cố định $8.000$ USD/tháng. Doanh thu trung bình từ khách hàng là $10.000$ USD/tháng và mỗi nhân viên tăng ca trung bình sẽ được khách hàng tip $800$ USD/tháng (Tiền tip phải được nộp lại cho chủ cửa hàng và tính vào doanh thu). Xác định số nhân viên tăng ca cần có để lợi nhuận của nhà hàng đạt lớn nhất.

Trả lời:

Câu 2

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30$ m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1$ m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30), N(90;120;30), P(0;120;30), Q(0;0;30)$ (Hình vẽ). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng $25$ và $K_0M = K_0N = K_0P = K_0Q$ . Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$ , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng $19$ .

Mô hình hệ trục tọa độ Oxyz với bốn cột M, N, P, Q và vị trí camera K0, K1

Tọa độ véctơ $\overrightarrow{K_0K_1} = (a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số thực. Tính $P = a + b + 3c$ ?

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng độ dài bằng $6$ . Biết độ dài của vectơ $\vec{a} + 2\vec{b}$ bằng $6\sqrt{3}$ . Biết số đo góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $x$ độ. Giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 4

Gọi $I(a;b)$ là giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x + 2}$ . Tính $T = a + b$

Trả lời:

Câu 5

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t) = t^3 - 3t^2 + 7t - 2$ , trong đó $t > 0$ và tính bằng giây và $s(t)$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét. Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $16$ m/s là

Trả lời:

Câu 6

Hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là $a$ và $b$ . Tính $3a + 2b$ .

Trả lời:

HẾT