Đề khảo sát tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2024 — Trường THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x} + 2}{3 - \sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6}$ với $x \ge 0, x \ne 4, x \ne 9$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ ;
b)
Tính giá trị biểu thức $A$ tại $x = 7 + 4\sqrt{3}$ .

Câu 2

a)
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{5}{x - 5} + \dfrac{6}{y - 6} = 5 \\ \dfrac{10}{x - 5} - \dfrac{9}{y - 6} = -1 \end{array} \right.$
b)
Tìm $m$ sao cho đường thẳng $(d): y = (m^2 + 2m)x + m^2 - m$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và hàm số bậc nhất $y = (m^2 + 2m)x + m^2 - m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Câu 3

Cho phương trình $x^2 - (4m - 1)x + 3m^2 - 2m = 0$ ( $m$ là tham số).

a)
Giải phương trình khi $m = 2$ ;
b)
Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} - (x_1 + x_2) - \frac{2}{x_1x_2} = -2.$

Câu 4

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ . Kẻ tiếp tuyến chung $DE$ của hai đường tròn với $D \in (O)$ và $E \in (O')$ sao cho $B$ gần tiếp tuyến đó hơn so với $A$ .

a)
Chứng minh rằng $\widehat{DAB} = \widehat{BDE}$ .
b)
Đường thẳng $DB$ cắt $AE$ tại $P$ , đường thẳng $EB$ cắt $AD$ tại $Q$ . Chứng minh tứ giác $APBQ$ nội tiếp đường tròn.
c)
Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDE$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho các số thực $x, y, z > 0$ . Chứng minh rằng: $x^2 + xy^2 + xyz^2 \ge 4xyz - 4$ .