Đề khảo sát năng lực Toán 9 (vòng 2, đợt 1) năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x + 2y + 2 = 5xy,\\ 8y^3 + x^3 + 38x^2y^3 + 19y^2x^3 = 66x^3y^3. \end{cases}$
2)
Giải phương trình
$\sqrt[4]{4x - 3} + \sqrt[4]{2 - x^4} = 2.$

3,0 điểm

1)
Tìm $x, y$ nguyên dương thỏa mãn
$7x^3 + 9x^2 + 4x = y^3 + 3y^2 + 3y + 3xy(x + y + 2) + 1.$
2)
Với $a, b, c \ge 0$ , chứng minh rằng
$\sqrt[4]{1 + a} + \sqrt[4]{1 + b} + \sqrt[4]{1 + c} \ge 2 + \sqrt[4]{1 + a + b + c}.$

3,0 điểm

Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có $AB = BC = CD = DE$ và $\angle ABC + \angle CDE = 180^{\circ}$ .

1)
Chứng minh rằng tồn tại một điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $BD$ sao cho
$\angle CPB - \angle CPD = \angle ABD - \angle EDB.$
2)
Chứng minh rằng các phân giác hai góc $\angle ABD$ và $\angle EDB$ đồng quy với $CP$ .
3)
Gọi $M$ là trung điểm $BD$ . Lấy $N$ (khác $C$ ) thuộc $CP$ sao cho $MN = MC$ . Chứng minh rằng $NA \perp NE$ .

1,0 điểm

Chứng minh rằng trong một tập con bất kì gồm 51 số từ tập

\{1, 2, 3, \dots, 100\}

luôn tồn tại 2 số phân biệt mà số này chia hết cho số kia.

HẾT