Đề khảo sát năng lực Toán 9 năm 2026 — Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, TP HCM

Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a + b = 4$ và $a^3 + b^3 = 40$. Tính giá trị biểu thức $P = a^5 + b^5$.

Giải phương trình $\left(\sqrt{2 + x} + 1\right)^2 + \left(\sqrt{2 - x} + 1\right)^2 = 2x + 6$.

Trong một cuộc thi thiết kế bảng tin của lớp, phần mềm chọn ngẫu nhiên hai số $a, b$ từ 1 đến 6. Mỗi cặp $(a, b)$ đều có khả năng xuất hiện như nhau. Từ đó, phần mềm đề xuất một tấm bảng hình chữ nhật có nửa chu vi bằng $a$ dm và diện tích bằng $b$ dm$^2$. Phương án được gọi là “hợp lệ” nếu tồn tại một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là hai số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện trên. Tính xác suất để phần mềm đưa ra một phương án “hợp lệ”.

Biết phương trình $2x^2 - 3ax + a = 0$ có một nghiệm là $b$ và phương trình $ax^2 - 3ax + 2 = 0$ có một nghiệm là $\dfrac{4}{3 - b}$ với $a$ là số thực khác 0 và $b$ là số thực khác 3. Tính giá trị biểu thức $T = a^3 + b^3$.

Để chuẩn bị cho kỳ thi khảo sát năng lực trực tuyến, hệ thống học tập LMS của trường cần thuê máy chủ từ hai nhà cung cấp dịch vụ điện toán đám mây là Alpha và Beta để tự động xử lý và phân tích ảnh của 5.000 bài thi trắc nghiệm. Nhà cung cấp Alpha xử lý $x$ bài thi với tổng chi phí là $f(x) = \dfrac{1}{40}x^2 + 100x$ đồng. Nhà cung cấp Beta tính phí thiết lập hệ thống ban đầu là $400.000$ đồng và phí xử lý cho mỗi bài thi là $200$ đồng.

Chứng minh các điểm $A, H, K$ thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác $FGH$ đi qua điểm $D$.

Trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $M$ sao cho $HB = HM$. Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $AM$ và $CK$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ tại điểm $P$ $(P \neq K)$. Hai đường thẳng $BP$ và $HN$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $NQ$.

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương phân biệt bé hơn 2027 thỏa mãn $a^2 + 1, b^2 + 1$ là hai số chia hết cho 2027. Chứng minh $ab - 1$ chia hết cho 2027.

Cho tập hợp $S = \{1; 2; \ldots; 2026\}$ và tập hợp $A$ là tập hợp con chứa ít nhất 3 phần tử của $S$. Biết rằng ba số phân biệt bất kì thuộc tập hợp $A$ luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh tập hợp $A$ có nhiều nhất 1004 phần tử.