Đề khảo sát kiến thức tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2026 — Trường THPT chuyên Sơn Tây, Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

1,5 điểm

1)
Kết quả khảo sát chất lượng 240 học sinh lớp 9 của một trường THCS trên địa bàn thành phố Hà Nội về ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh được ghi lại trong bảng tần số ghép nhóm dưới đây:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tổng điểm ba môn} & [5;10) & [10;15) & [15;20) & [20;25) & [25;30) \\ \hline \text{Số học sinh} & 3 & 17 & 82 & 108 & 30 \\ \hline \end{array}$
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[20;25)$ .
2)
Trên một giá sách có 8 quyển sách tham khảo môn Toán khác nhau, 7 quyển sách tham khảo môn Vật lí khác nhau và 5 quyển sách tham khảo môn Hóa học khác nhau. Bạn Hoàng chọn ngẫu nhiên một quyển sách tham khảo trên giá sách. Tính xác suất của biến cố A “Quyển sách bạn Hoàng chọn không phải môn Toán”.

Câu II

1,5 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x-5}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{x+3}{x-9} + \dfrac{2}{\sqrt{x}+3} + \dfrac{1}{\sqrt{x}-3}$ với $x > 0, x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Tìm $x$ để $A.B \geq 2$ .

Câu III

2,5 điểm

1)
Sau quá trình cố gắng ôn luyện bạn An thi đỗ vào lớp 10 của một trường THPT chuyên. Để thưởng cho An, đầu năm học mới này bố mẹ dự định mua cho An một xe đạp điện mới và một máy tính mới. Tại một cửa hàng mới khai trương, tổng số tiền của hai sản phẩm này theo giá niêm yết là 27 triệu đồng. Sau khi áp dụng chính sách ưu đãi giảm $5\%$ cho xe đạp điện và giảm $7\%$ cho máy tính thì bố mẹ An phải thanh toán 25,41 triệu đồng.

Em hãy cho biết giá niêm yết của từng sản phẩm trên là bao nhiêu?
2)
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết quãng đường sông AB dài 35 km và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
3)
Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 3x - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $S = \dfrac{{x_{1}}^{2}}{x_{2}} + \dfrac{{x_{2}}^{2}}{x_{1}}$ .

Câu IV

4,0 điểm

1)
Một cốc nước thủy tinh hình trụ có bán kính trong lòng đáy cốc là 4 cm, chiều cao mực nước có trong cốc là 10 cm. (Lấy $\pi \approx 3,14$ )
1. a)
  Tính lượng nước có trong cốc.
2. b)
  Một bể nuôi cá cảnh dạng hình cầu có đường kính 12 cm. Biết lượng nước tối thiểu để đảm bảo điều kiện sống cho cá là $\frac{2}{3}$ thể tích bể. Hỏi lượng nước ở cốc thủy tinh trên có đủ để đổ đầy $\frac{2}{3}$ thể tích bể nuôi cá hay không?
2)
Cho đường tròn tâm $(O)$ bán kính $R$ , đường kính $AB$ . Vẽ tia $Ax$ vuông góc với $AB$ , trên tia $Ax$ lấy điểm $M$ sao cho $AM > R$ . Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MN$ tới đường tròn $(O)$ ( $N$ là tiếp điểm, $N$ khác $A$ ).
1. a)
  Chứng minh bốn điểm $A, M, N, O$ cùng thuộc một đường tròn.
2. b)
  Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của $MB$ với đường tròn $(O)$ . Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $BC$ và $AN$ lần lượt tại $I, E$ . Chứng minh $IC$ là tia phân giác của $\widehat{AIN}$ và $EB$ vuông góc với $AB$ .
3. c)
  Gọi $F$ là giao điểm của $AC$ và $NB$ . Chứng minh $M, E, F$ thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Có hai chiếc cọc cao 5 m và 15 m đặt vuông góc với mặt đất tại hai vị trí $A$ và $B$ . Biết khoảng cách giữa hai cọc là 12 m. Người ta đặt một cái chốt ở vị trí $M$ trên mặt đất nằm giữa hai chân cọc để giăng dây nối đến hai đỉnh $C$ và $D$ của hai cọc (như hình vẽ). Hỏi người ta phải đặt chốt ở vị trí cách $A$ một khoảng bằng bao nhiêu để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Sơ đồ hai cọc AC = 5m, BD = 15m và điểm M trên AB

HẾT