Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 6 năm 2025 — Phòng GD&ĐT Ninh Giang, Hải Dương

Câu 1

1,5 điểm

Tính giá trị các biểu thức sau:

a)
$A = 2.400:\{360:[420-(4.5^{3}-2^{3}.5^{2})]\}$
b)
$C = \dfrac{5.8^{6}.9^{3}-3^{9}.(-16)^{4}}{4.2^{13}.3^{10}+2.8^{4}.(-27)^{3}}$

2,0 điểm

2,5 điểm

1)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn: $xy - x + y = 8$
2)
Tìm số học sinh của trường THCS Bình An biết rằng số học sinh của trường đó nếu xếp thành 17 hàng thì thừa 8 em, nếu xếp thành 25 hàng thì thừa 16 em và số học sinh nhỏ hơn 800.
3)
Chứng minh rằng nếu $2^{n}-1$ là số nguyên tố $(n > 2)$ thì $2^{n}+1$ là hợp số.

3,0 điểm

1)
Cho đường thẳng $xy$ và điểm $O$ bất kỳ nằm trên đường thẳng đó. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA = 3\text{cm}$ . Trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B$ và $C$ sao cho $OB = 1\text{cm}$ ; $OC = 5\text{cm}$ .
1. a)
  Chứng tỏ rằng $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ .
2. b)
  Cho $I$ là trung điểm của $OC$ . Tính độ dài đoạn $BI$ .
3. c)
  Lấy điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $xy$ và lấy thêm 2025 điểm phân biệt cùng nằm trên đường thẳng $xy$ sao cho các điểm này không trùng với 5 điểm $A, B, C, O, I$ . Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong số các điểm đã cho?
2)
Bác An mở rộng một cái ao hình vuông để được một cái ao hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Sau khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm $600\text{m}^{2}$ và diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ. Hỏi Bác An phải dùng bao nhiêu chiếc cọc để đủ rào xung quanh ao mới? Biết rằng cọc nọ cách cọc kia $1\text{m}$ và ở một góc ao Bác An để lối lên xuống rộng $2\text{m}$ .

1,0 điểm

1)
Cho $p > 5$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng $111...11$ chia hết cho $p$ .
2)
Cho $A = \dfrac{3}{2^{2}}+\dfrac{8}{3^{2}}+\dfrac{15}{4^{2}}+\ldots+\dfrac{2023^{2}-1}{2023^{2}}$ . Chứng minh rằng giá trị của $A$ không phải là một số tự nhiên.