Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Nghệ AnMã đề 0101

Nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2024 của một số hộ gia đình ở thành phố Vinh được ghi lại ở bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{\cos x}$, hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

Một nhóm có 5 học sinh, trong đó có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh để tham gia 1 cuộc khảo sát. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ.

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $(c \neq 0, ad - bc \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-4;0)$ và bán kính bằng $3$. Phương trình của $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{2} = \dfrac{y+2}{2} = \dfrac{z}{3}$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

Tập nghiệm của bất phương trình $4^x < 1$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị diện $[B, SA, D]$.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 2$ và công sai $d = 3$. Số hạng $u_6$ của cấp số cộng là

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t = 0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0) = 10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N'(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: $N'(t) = 22t - 3t^2 \text{ (triệu tế bào/ml/giờ) với } t \text{ là thời gian tính bằng giờ } (0 \le t \le 10).$

Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí $\mathrm{CO}_2$ cho thấy: nồng độ khí $\mathrm{CO}_2$ trong phòng thay đổi theo thời gian $t$ (tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số: $f(t) = 400 + \dfrac{2000t}{t^2+5}$ (ppm), với $t \ge 0$ (Khi nói nồng độ khí $\mathrm{CO}_2$ trong không khí là $400$ ppm, điều đó có nghĩa là: Trong một triệu phần thể tích của không khí, có $400$ phần thể tích là khí $\mathrm{CO}_2$).

Một công ty tổ chức chương trình bốc thăm trúng thưởng nhân dịp nghỉ lễ $30/4$ và $1/5$ cho $100$ nhân viên. Trong hộp có $100$ vé, trong đó có $4$ vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Thái Lan, $10$ vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Đà Nẵng và $20$ vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí tại Cửa Lò (Nghệ An), các vé còn lại trúng thưởng năm triệu đồng. Lần lượt từng nhân viên lên bốc ngẫu nhiên một vé (không hoàn lại).

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm $A$ cách mặt đất $12m$, cách điểm xuất phát $7m$ về phía nam và $3m$ về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm $B$ cách mặt đất $10m$, cách điểm xuất phát $5m$ về phía bắc và $2m$ về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Khi đó:

Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone).

Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với $1$ mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $(P)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C(-50;-45;0)$ và $D(-20;-60;0)$. Vị trí giao hàng là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A(-30;-30;40)$. Từ vị trí $A$, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đến vị trí giao hàng $B$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $B$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao $40\text{ m}$. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông.

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0 = 18\text{ m}$, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{40} = 18\text{ m}$. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh $L_{\min} = 13\text{ m}$. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Một nhà đầu tư có số vốn là $3$ tỷ đồng ($3.000$ triệu đồng) và dự định phân bổ vào quỹ cổ phiếu A và quỹ trái phiếu B. Các thông tin và điều kiện đầu tư như sau: Quỹ cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là $15\%$/năm. Quỹ trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là $7\%$/năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá $3.000$ triệu đồng. Phải đầu tư ít nhất $400$ triệu đồng vào quỹ trái phiếu B. Không đầu tư quá $2.200$ triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A. Với các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều.

Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là: $C(x) = x^2 + 27$ (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là: $T(x) = x + 3$ (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước $x$ để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của $x$.

Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $1,5\%$. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:

Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $95\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $1\%$.

Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $90\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $5\%$.

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số có dạng $0,0ab$ (ví dụ nếu kết quả là $0,024$ thì $a = 2, b = 4$). Tính giá trị của $10a + b$.

Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng $15\text{ m}$ và chiều dài $30\text{ m}$. Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là $1,2\text{ m}$ và tăng dần đều đến $2,0\text{ m}$ ở đầu kia của bể (xem hình vẽ).

Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là $60\text{ m}^3/\text{giờ}$. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm bơm đầy bể nước?