Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \dfrac{3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} - \dfrac{7\sqrt{ab} + 10b}{a + 4b + 5\sqrt{ab}}\right) \cdot \dfrac{a + 12b + 7\sqrt{ab}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}}$ , với $a, b > 0$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Khi $P$ là số nguyên, tính giá trị biểu thức $Q = \dfrac{a + 2025b}{a + 2026b}$ .

Câu 2

1,5 điểm

Hai bạn An và Bình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một đỉnh của lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $a$ .

a)
Mô tả không gian mẫu và các kết quả thuận lợi của biến cố $M$ : “Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh trùng nhau”.
b)
Tính xác suất của biến cố $N$ : “Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh mà khoảng cách giữa chúng bằng $a\sqrt{3}$ ”.

Câu 3

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{3}(x^{2} - x) = \sqrt{3x^{2} - 2x - 1}$ .
b)
Tại một Trường Trung học cơ sở A, khối lớp 8 có số học sinh nam gấp 3 lần số học sinh nữ; khối lớp 9 có số học sinh nam gấp 6 lần số học sinh nữ. Nếu tính chung cả hai khối thì tổng số học sinh là 750 và tổng số học sinh nam gấp 4 lần tổng số học sinh nữ. Hỏi khối lớp 8, khối lớp 9 ở Trường A, mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Câu 4

1,5 điểm

a)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tìm tất cả các số thực âm $a$ để parabol $(P): y = x^{2}$ cắt đường thẳng $d_{1}: y = x - a$ tại hai điểm có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ và cắt đường thẳng $d_{2}: y = 2x - 3a$ tại hai điểm có hoành độ $x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x_{1} - x_{3}} + \dfrac{1}{x_{2} - x_{3}} + \dfrac{1}{x_{1} - x_{4}} + \dfrac{1}{x_{2} - x_{4}} = \dfrac{1}{3}$ .
b)
Tồn tại hay không các số nguyên dương $x, y$ sao cho giá trị biểu thức $\dfrac{x^{2} + x - 2}{y^{2} + 2y}$ là bình phương của một số nguyên tố? Vì sao?

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC < BC)$ , có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên đường thẳng $BI$ .

a)
Chứng minh rằng $2\cdot \widehat{PIC} + \widehat{BAC} = 180^{\circ}$ và ba điểm $P, E, F$ thẳng hàng.
b)
Tia $DI$ cắt các đường thẳng $EF, PC$ lần lượt tại $L, K$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, IK$ . Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $EF$ và $\dfrac{DI}{DN} + \dfrac{NL}{NI} = 1$ .

Câu 6

1,5 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Dựng hình bình hành $ABDC$ . Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ sao cho tia $DM$ nằm giữa tia $DA$ và tia $DC$ . Đường thẳng qua $M$ , song song với đường thẳng $AC$ , cắt cạnh $AB$ tại $P$ và đường thẳng qua $M$ , song song với đường thẳng $AB$ , cắt cạnh $AC$ tại $Q$ . Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ tại $F$ ( $F$ khác $A$ ). Chứng minh rằng tam giác $MBC$ đồng dạng tam giác $PMA$ và $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDF$ .