Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

Cho hai tập hợp $A=[-3;-1]\cup [2;4]$, $B=(m-1;m+2)$. Tìm $m$ để $A\cap B \neq \varnothing$.

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ $200$kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần $2$kg nguyên liệu và máy làm việc trong $3$ giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần $4$kg nguyên liệu và máy làm việc trong $1,5$ giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi $300.000$ đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi $400.000$ đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá $120$ giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Bạn Mai có ba lọ dung dịch chứa một loại acid. Dung dịch A chứa $10\%$, dung dịch B chứa $30\%$ và dung dịch C chứa $50\%$. Bạn Mai lấy từ mỗi lọ dung dịch và hòa với nhau để có $50$g hỗn hợp chứa $32\%$ acid này và lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A. Tính lượng dung dịch mỗi loại bạn Mai đã lấy.

Cho tam giác $ABC$ có $\begin{cases} \cos B \cdot \cos C = \dfrac{1}{4} \\ a^2 = \dfrac{b^3 + c^3 - a^3}{b + c - a} \end{cases}$

. Chứng minh $\Delta ABC$ là tam giác đều.

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{NB} - 3\overrightarrow{NC} = \vec{0}$. Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $GN$, tính tỉ số $\dfrac{PA}{PC}$.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AC \perp BD$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R=1$. Đặt diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $S$ và $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$. Tính giá trị biểu thức $T=\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{S}$.