Đề thi học kỳ 1 Toán 12 năm 2025 — Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà NộiMã đề 123

Thời gian: 90 phút
Số câu: 21 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = x^3 - 3x^2 - 1$
B
$\displaystyle y = x^3 - x^2 + 6x - 1$
C
$\displaystyle y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$
D
$\displaystyle y = x^4 + 2x^2 - 1$

Câu 2

Cho hàm số $y = \dfrac{-x + 2}{x - 1}$ , khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$
B
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
C
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
D
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$

Câu 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 6x$ trên $[-1;4]$ là

A
$\displaystyle -4\sqrt{2}$
B
$\displaystyle -5$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 40$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ . Khi đó, tổng $M + m$ bằng

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1;3]$

A
$\displaystyle -6$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle -5$
D
$\displaystyle 2$

Câu 5

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x^2 - 4}$ có đường tiệm cận ngang là:

A
$\displaystyle y = 2$
B
$\displaystyle y = 0$
C
$\displaystyle y = 1$
D
$\displaystyle y = -2$

Câu 6

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; 2); y′ không xác định tại x = 2; y′ < 0 trên (2; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; 2) và (2; +∞).

A
$\displaystyle y = \dfrac{2x - 7}{x - 2}$
B
$\displaystyle y = \dfrac{2x + 1}{x + 2}$
C
$\displaystyle y = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$
D
$\displaystyle y = \dfrac{1 - 2x}{x - 2}$

Câu 7

Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là

A
$\displaystyle (2;2)$
B
$\displaystyle (2;-2)$
C
$\displaystyle (0;-2)$
D
$\displaystyle (0;2)$

Câu 8

Cho hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có bảng biến thiên sau:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; −1); y′ = 0 tại x = −1; y′ < 0 trên (−1; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ > 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1), đạt cực đại tại x = −1 với y(−1) = 2, đạt cực tiểu tại x = 1 với y(1) = −2.

Đồ thị nào thể hiện hàm số $y = f(x)$ ?

A
$\displaystyle I$
B
$\displaystyle II$
C
$\displaystyle III$
D
$\displaystyle IV$

Câu 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\vec{a} = -\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$ . Tọa độ của $\vec{a}$ là

A
$\displaystyle (-2;-1;-3)$
B
$\displaystyle (-3;2;-1)$
C
$\displaystyle (2;-3;-1)$
D
$\displaystyle (-1;2;-3)$

Câu 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hai vector $\vec{a}(1;1;-2), \vec{b} = (-2;1;4)$ . Tìm tọa độ của vector $\vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b}$ .

A
$\displaystyle (5;-1;-10)$
B
$\displaystyle (0;3;0)$
C
$\displaystyle (-3;3;6)$
D
$\displaystyle (5;-1;10)$

Câu 11

Thầy Thảo thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Đường kính (cm)} & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65) \\ \hline \text{Tần số} & 5 & 20 & 18 & 7 & 3 \\ \hline \end{array}

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

A
$\displaystyle 25$
B
$\displaystyle 30$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 69,8$

Câu 12

Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm là $25$ thì độ lệch chuẩn của mẫu là :

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 25$
C
$\displaystyle 625$
D
$\displaystyle 50$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai2,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$ .

a)
Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
b)
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ ; đường tiệm cận ngang $y = 2$
c)
Hàm số có 2 điểm cực trị, 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu
d)
Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 3

Câu 2

Cho chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao bằng 5 và độ dài các cạnh đáy bằng 4. Lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với tâm hình vuông $ABCD$ , tia $Ox$ chứa $A$ , tia $Oy$ chứa $B$ và tia $Oz$ chứa $S$ .

a)
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$
b)
$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = -4\overrightarrow{SO}$
c)
Tọa độ đỉnh $A(2\sqrt{2};0;0)$
d)
Tọa độ $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{OS} = (a;b;c)$ , khi đó $a + b + c = 10$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn2,0 điểm

Câu 1

Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y = \dfrac{x^2 + 4x + 7}{x+1}$ là bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 2

Cho chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$ , giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;9)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $C(x;y;z)$ . Tính $x + y + z$ .

Trả lời:

Câu 4

Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi thọ} & [14;15) & [15;16) & [16;17) & [17;18) & [18;19) \\ \hline \text{Số con hổ} & 1 & 3 & 8 & 6 & 2 \\ \hline \end{array}

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[a;b)$ . Tổng giá trị của $a + b$ là bao nhiêu?

Trả lời:

Phần IV. Tự luận3,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Hình dưới mô tả một cái ao hình $ABCDE$ , ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 15 mét. Biết rằng:

Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$ .
Bờ $AB$ là một phần của parabol có đỉnh $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$ .
Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là 40 mét và 20 mét.
Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt là 40 mét và 30 mét.

Sơ đồ mảnh vườn hình chữ nhật OCDE với bờ ao AB và bồn hoa tròn tâm I

Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó là bao nhiêu mét ?

Câu 2

1,0 điểm

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$ , một đội gồm ba drone giao hàng $A, B, C$ đang có tọa độ là $A(1;1;1), B(5;7;9), C(9;11;4)$ . Gọi $d_1, d_2, d_3$ lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính $d_1 + d_2 + d_3$ .

Ba drone giao hàng và khoảng cách giữa các cặp drone

Câu 3

1,0 điểm

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cự li (m)} & [19;19,5) & [19,5;20) & [20;20,5) & [20,5;21) & [21;21,5) \\ \hline \text{Tần số} & 13 & 45 & 24 & 12 & 6 \\ \hline \end{array}

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

HẾT