Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023 (đợt 1) — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

3,0 điểm

Giải hệ phương trình

\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y+1} + x^{2} - y^{2} + x - 3y - 2 = 0 \\ 27x^{2}y + 27x^{2} - 54xy - 76x - 20y = 22 + \sqrt[3]{80x + y - 7} \end{cases} (x, y \in \mathbb{R}).

Câu 2

2,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $\begin{cases} u_1 > 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{1+u_n^2}{2u_n^2}, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

.

Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ . Đường tròn $(O)$ lần lượt tiếp xúc với ba cạnh $AB, BC, CA$ tại ba điểm $M, N, K$ . Gọi $S, R$ lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $ABC$ với hai đường thẳng $KN, MN$ . Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $MS$ và $KR$ , đường thẳng $AN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $J$ .

a)
Chứng minh $I$ thuộc $(O)$ và $\dfrac{\sin \widehat{MKN}}{\sin \widehat{KMN}} = \dfrac{KI}{KJ}$ .
b)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMK$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai là $D$ , $OD$ cắt $MK$ tại $E$ . Gọi $(T)$ là đường tròn đi qua $D$ và tiếp xúc với $BC$ tại $N$ . Chứng minh $(T)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $EN$ là đường phân giác của góc $BEC$ .

Câu 4

2,0 điểm

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ .

a)
Xét đa thức $f(x) = (x+1)(x+2)\ldots(x+p-1) = x^{p-1} + a_{p-2}x^{p-2} + \ldots + a_1x + (p-1)!$ .

Chứng minh $a_i \vdots p$ với mọi $i = 1,2,\ldots,p-2$ .
b)
Chứng minh $\left(\dfrac{(p-1)!}{1}\right)^p + \left(\dfrac{(p-1)!}{2}\right)^p + \ldots + \left(\dfrac{(p-1)!}{p-1}\right)^p$ chia hết cho $p^3$ .

Câu 5

3,0 điểm

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Câu 6

2,0 điểm

Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác đều $(T)$ có $12$ đỉnh bằng hai màu khác nhau, mỗi đỉnh tô một màu.

a)
Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có tam giác đều nào mà tất cả các đỉnh của nó cùng màu (các đỉnh của nó là đỉnh của $(T)$ )?
b)
Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho có ít nhất một đa giác đều mà tất cả các đỉnh của nó cùng màu (các đỉnh của nó là đỉnh của $(T)$ )?

Câu 7

3,0 điểm

Cho ba số thực $x, y, z$ thuộc khoảng $(0;1)$ và thỏa mãn $(1-x)(1-y)(1-z) = xyz$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + x + y + z$ .