Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2026 — Trường THPT Tĩnh Gia 2, Thanh HóaMã đề 404

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ là:

A
$\displaystyle (\alpha): 2x - y + 3z + 2 = 0$
B
$\displaystyle (\alpha): 2x - y + 3z - 2 = 0$
C
$\displaystyle (\alpha): 2x + 3y - z - 2 = 0$
D
$\displaystyle (\alpha): 2x + 3y - z + 2 = 0$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây:

A
$\displaystyle Q(0;0;-3)$
B
$\displaystyle P(-3;0;0)$
C
$\displaystyle M(-1;-1;-1)$
D
$\displaystyle N(1;1;1)$

Câu 3

Tính tích phân $\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$ .

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle -2$

Câu 4

Cho $\int 5^x \, dx = F(x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle F'(x) = 5^x \ln 5$
B
$\displaystyle F'(x) = -5^x$
C
$\displaystyle F'(x) = 5^x$
D
$\displaystyle F'(x) = 5^x + C$

Câu 5

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ có đồ thị như hình bên và $c \in [a;b]$ . Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và các đường thẳng $y = 0$ , $x = a$ , $x = b$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

Đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] với hình phẳng (H) được gạch sọc

A
$\displaystyle S = \int\limits_{a}^{c} f(x) \, dx + \int\limits_{c}^{b} f(x) \, dx$
B
$\displaystyle S = \int\limits_{a}^{b} |f(x)| \, dx$
C
$\displaystyle S = \int\limits_{a}^{c} f(x) \, dx - \int\limits_{c}^{b} f(x) \, dx$
D
$\displaystyle S = \int\limits_{a}^{c} f(x) \, dx + \int\limits_{b}^{c} f(x) \, dx$

Câu 6

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = 8$ là

A
$\displaystyle \frac{45}{8}$
B
$\displaystyle \frac{45}{7}$
C
$\displaystyle \frac{45}{4}$
D
$\displaystyle \frac{45}{2}$

Câu 7

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ . Chọn mệnh đề đúng.

A
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F^{2}(b) - F^{2}(a)$
B
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F(b) + F(a)$
C
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F(a) - F(b)$
D
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$

Câu 8

Nếu $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d}x = 2$ thì $\int_{1}^{3} [f(x) + 2x] \mathrm{d}x$ bằng

A
12
B
20
C
10
D
18

Câu 9

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AD'}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AC'}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AA'}$

Câu 10

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

A
$\displaystyle F'(x) = f(x), \forall x \in K$
B
$\displaystyle f'(x) = F(x), \forall x \in K$
C
$\displaystyle F'(x) = -f(x), \forall x \in K$
D
$\displaystyle f'(x) = -F(x), \forall x \in K$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến $(P): x + 2y + 2z - 10 = 0$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle \frac{11}{3}$
C
$\displaystyle \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle \frac{4}{3}$

Câu 12

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos 3x$

A
$\displaystyle \int \cos 3x \mathrm{d}x = \sin 3x + C$
B
$\displaystyle \int \cos 3x \mathrm{d}x = \frac{\sin 3x}{3} + C$
C
$\displaystyle \int \cos 3x \mathrm{d}x = 3\sin 3x + C$
D
$\displaystyle \int \cos 3x \mathrm{d}x = -\frac{\sin 3x}{3} + C$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Cho đồ thị các hàm số $y = f(x) = x + 1$ và $y = g(x) = (0,7)^{x}$ như hình vẽ.

a)
Diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = g(x)$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 2$ là $S = 1,43$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
b)
Khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ , $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = 1$ ; $x = 2$ quanh trục hoành có thể tích xấp xỉ bằng $18,8$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
c)
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$ ; $x = 0$ quanh trục hoành bằng $9\pi$
d)
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ đường thẳng $x = 1$ , $x = 4$ là $S = 9,12$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 2

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $54 \text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50 \text{ m}$ nên người đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -3t + 15 (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t (s)$ kể từ lúc đạp phanh.

a)
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là $37,45 m (s)$
b)
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $5 s$
c)
Quãng đường ô tô đi được trong $2s$ cuối cùng là $24 m$
d)
Khi xe ô tô dừng hẳn xe ô tô đó cách chướng ngại vật $12,5 m$

Câu 3

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ thỏa mãn $f(x) = 3x + 1 - \frac{2}{x}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $F(3) = 15$ . Khi đó ta tìm được $F(x) = \frac{3x^2}{2} + x - 2\ln|x| + 15$ .
b)
Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Biết $G(2) = 1$ và $G(5) + G(-5) = 10$ . Khi đó tìm được $G(-10) = a\ln 2 + b\ln 5 + c$ , với $a, b, c$ là các số hữu tỷ. Vậy $a + b + c = 80$ .
c)
$\int_{1}^{2} f(x) = \frac{11}{2} - 2\ln 2$
d)
$\int f(x) dx = 3 + x - 2\ln|x| + C$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z - 6 = 0$ .

a)
$\vec{n} = (2; 2; -1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
b)
Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $N(3; 2; -1)$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z - 11 = 0$
c)
Cho điểm $A(1; -2; -1)$ và điểm $K \in (P)$ . Gọi $B$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AB} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$ . Khi đó khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d(B; (P)) = 5$ .
d)
Điểm $M(1; -1; -6)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^{\circ}$ . Trong không gian $Oxyz$ , camera được đặt tại điểm $A(1; 4; 2)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z - 3 = 0$ . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục)

Camera quan sát với góc 116° chiếu xuống mặt phẳng (P) tạo vùng quan sát hình tròn

Trả lời:

Câu 2

Một mảnh đất hình tròn bán kính $15m$ , người ta trồng hoa vào phần đất giới hạn bởi đường tròn và hai đường thẳng song song với nhau, cách đều tâm và cách nhau $22m$ . Tính diện tích phần trồng hoa. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hình tròn với hai dây cung AD và BC song song

Trả lời:

Câu 3

Cho $\int_{1}^{2} f(x) dx = -2$ . Tính $\int_{1}^{2} (3x - 1 - 5f(x)) dx$

Trả lời:

Câu 4

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0 \le x \le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R = 10 + \sqrt{x}$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\frac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Hình chậu nước cao 16 cm, mực nước cao x cm và bán kính mặt cắt $10+\sqrt{x}$ cm

Trả lời:

Câu 5

Cho 3 điểm $A(0;-2;1); B(-3;2;2); C(2;1;5)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $B$ và vuông góc với $AC$ có phương trình: $ax + by + 2z + d = 0$ . Tính $d$ .

Trả lời:

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng $(\alpha): 2x + y - 3z + 18 = 0$ . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P): x - y = 0$ , $(Q): x + y - 2z = 0$ . Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Trả lời:

HẾT