Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2025 — Trường THPT Số 3 Phù Cát, Bình ĐịnhMã đề ĐỀ GỐC

Thời gian: 90 phút
Số câu: 21 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A
$\int f'(x)\mathrm{d}x = f(x) + C$ với mọi hàm $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$
B
$\int [f(x) + g(x)]\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}x + \int g(x)\mathrm{d}x$ với mọi hàm $f(x), g(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$
C
$\int kf(x)\mathrm{d}x = k\int f(x)\mathrm{d}x$ với mọi hằng số $k$ và với mọi hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$
D
$\int [f(x) - g(x)]\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}x - \int g(x)\mathrm{d}x$ với mọi hàm $f(x), g(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$

Câu 2

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ là

A
$\displaystyle -\sin x + C$
B
$\displaystyle \sin x + C$
C
$\displaystyle \cos x + C$
D
$\displaystyle -\cos x + C$

Câu 3

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5^x$ .

A
$\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x = 5^x + C$
B
$\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x = 5^x \ln 5 + C$
C
$\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x = \dfrac{5^x}{\ln 5} + C$
D
$\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x = \dfrac{5^{x+1}}{x+1} + C$

Câu 4

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle f'(x) = F(x), \forall x \in K$
B
$\displaystyle F'(x) = f(x), \forall x \in K$
C
$\displaystyle F(x) = f(x), \forall x \in K$
D
$\displaystyle F'(x) = f'(x), \forall x \in K$

Câu 5

Tìm $\int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ .

A
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{x} + C$
B
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{x} + C$
C
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2x} + C$
D
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x = \ln x^2 + C$

Câu 6

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 - 3x + \dfrac{1}{x}$ là:

A
$\displaystyle F(x) = 2x - 3 - \dfrac{1}{x^2} + C$
B
$\displaystyle F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + \ln |x| + C$
C
$\displaystyle F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3}{2}x^2 + \ln x + C$
D
$\displaystyle F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + \ln x + C$

Câu 7

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và $a, b, c \in K$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x$
B
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t$
C
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\mathrm{d}x$
D
$\displaystyle \int_{a}^{a} f(x)\mathrm{d}x = 0$

Câu 8

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Khi đó hiệu số $F(0) - F(1)$ bằng

A
$\displaystyle \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$
B
$\displaystyle \int_0^1 F(x) \mathrm{d}x$
C
$\displaystyle \int_1^0 F(x) \mathrm{d}x$
D
$\displaystyle \int_1^0 f(x) \mathrm{d}x$

Câu 9

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;3]$ thỏa mãn $f(1)=2$ và $f(3)=9$ . Tính

I = \int_1^3 f'(x) \mathrm{d}x.

A
$\displaystyle I = 11$
B
$\displaystyle I = 7$
C
$\displaystyle I = 2$
D
$\displaystyle I = 18$

Câu 10

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[a,b]$ . Diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b$ $(a < b)$ được tính theo công thức

A
$\displaystyle S = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \mathrm{d}x$
B
$\displaystyle S = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$
C
$\displaystyle S = \pi \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$
D
$\displaystyle S = \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$

Câu 11

Kí hiệu $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f_1(x)$ , $y = f_2(x)$ , đường thẳng $x = a$ , $x = b$ (như hình bên). Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng?

đồ thị hình phẳng giới hạn bởi f1(x), f2(x), x = a, x = b

A
$\displaystyle S = \int_a^b [f_2(x) - f_1(x)] \mathrm{d}x$
B
$\displaystyle S = \int_a^b [f_1(x) - f_2(x)] \mathrm{d}x$
C
$\displaystyle S = \pi \int_a^b [f_1(x) - f_2(x)]^2 \mathrm{d}x$
D
$\displaystyle S = \pi \int_a^b [f_1(x) - f_2(x)] \mathrm{d}x$

Câu 12

Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(a \le x \le b)$ là $S(x)$ .

A
$\displaystyle V = \int_b^a S(x) \mathrm{d}x$
B
$\displaystyle V = \pi \int_a^b S(x) \mathrm{d}x$
C
$\displaystyle V = \pi \int_a^b S^2(x) \mathrm{d}x$
D
$\displaystyle V = \int_a^b S(x) \mathrm{d}x$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai2,0 điểm

Câu 1

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ .

a)
$F(x) = f'(x), \forall x \in (0;+\infty)$
b)
$F(x) + 2025$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$
c)
$F(x) = x^2 + \ln x + 2025$
d)
Biết $F(1) = \dfrac{3}{2}$ , khi đó $F(e) = \dfrac{e^2}{2} + 2$

Câu 2

Cho hàm số $f(x) = 6x^5 - x^e$ . Gọi $I = \int_a^b 6x^5 \mathrm{d}x$ ; $J = \int_a^b x^e \mathrm{d}x$ .

a)
Gọi $A = \int_a^b x^5 \mathrm{d}x$ thì ta có $A = 6I$
b)
$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = I + J$
c)
$J = \left. x^e \right|_a^b = b^e - a^e.$
d)
$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = m - \frac{n}{e + p}$ . Khi đó $m + n + p = 3.$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn2,0 điểm

Câu 1

Biết $\int (\sin x - \cos x)^2 \mathrm{d}x = x + \frac{1}{a}\cos bx + C$ . Tính tổng $S = a + b$ ?

Trả lời:

Câu 2

Cho các hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Giả sử $\int_2^7 [2f(x) + 3g(x)]\mathrm{d}x = 2$ và $\int_2^7 [f(x) - 2g(x)]\mathrm{d}x = 4$ . Khi đó, $\int_2^7 [f(x) - g(x)]\mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3x^2 - x + 1 & \text{khi } x \ge 2 \\ x - 1 & \text{khi } x < 2 \end{cases}$

. Tích phân $I = \int_0^3 f(x)\mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 4

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa Cẩm Tú Cầu (phần được gạch chéo trên hình vẽ).

Nửa hình tròn với phần gạch chéo ở giữa giới hạn bởi parabol và cung tròn

Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và nửa trên của đường tròn $y = \sqrt{20 - x^2}$ . Tính số tiền (nghìn đồng) tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi $m^2$ hoa cần ít nhất là 250 nghìn đồng. (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Phần IV. Tự luận3,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Tính $\int_0^1 (3 - 5x)(x + 1)\mathrm{d}x.$

Câu 2

1,0 điểm

Cho $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ . Tính tổng $S = a + b + c$ ?

Câu 3

1,0 điểm

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB = 4$ m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC = 4$ m, $CE = 3,5$ m và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao 1 m (xem hình minh họa bên).

Hình minh họa khối tường cong với thiết diện tam giác vuông cong ACE

Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

HẾT