Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Thời gian: 120 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 2x - y = -7 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$
2)
Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{4}x^2$ có tung độ bằng $4$ .
3)
Cho phương trình $x^2 - 7x + 2 = 0$ .
1. a)
  Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .
2. b)
  Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức
  $T = \sqrt{x_1^2 + 2x_1 + 1} + \sqrt{2x_2^2 - x_2 + 11}$

Câu 2

1,0 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{8}{x - 1}\right) \cdot \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}}$ , với $x > 0$ và $x \neq 1$ .

1)
Rút gọn biểu thức $P$ .
2)
Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $|P| + P = 0$ .

Câu 3

1,0 điểm

Một công ty vận tải Y dự định sử dụng một đoàn xe để chở 80 tấn hàng hóa. Trước khi khởi hành, do phát sinh công ty Y phải chở thêm 4 tấn hàng hóa nữa, vì thế công ty đã điều thêm 2 xe cùng tham gia vận chuyển nên tất cả các xe đều chở giảm đi 1 tấn hàng hóa so với ban đầu. Hỏi công ty Y dự định sử dụng bao nhiêu xe, biết rằng tất cả các xe công ty sử dụng cùng chủng loại và chở cùng khối lượng?

Câu 4

1,5 điểm

1)
Điều tra thời gian tự học của 20 học sinh trong một ngày, thu được bảng tần số sau:
${\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian tự học (giờ)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Cộng} \\ \hline \text{Tần số } (n) & 5 & 4 & 6 & 3 & 2 & N = 20 \\ \hline \end{array}}$
1. a)
  Lập bảng tần số tương đối của bảng tần số trên.
2. b)
  Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh có thời gian tự học ít nhất 3 giờ trong mỗi ngày.
2)
Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi chiếc thẻ được ghi một trong các số $1, 2, 3, \dots, 20$ , hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp trên và quan sát số ghi trên thẻ đó. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Số ghi trên chiếc thẻ rút được chia hết cho cả 2 và 3”.

Câu 5

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O, R)$ và điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ . Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ ( $A$ và $B$ là các tiếp điểm). Xét điểm $D$ thuộc cung lớn $AB$ ( $D$ không nằm chính giữa cung $AB$ ), đường thẳng $MD$ cắt $(O)$ tại điểm $C$ . Gọi $E$ là trung điểm của dây $CD$ , tia $BE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Chứng minh hai tam giác $EBC$ và $EDF$ đồng dạng.
3)
Chứng minh $EM$ là tia phân giác của $\widehat{AEB}$ .
4)
Khi $D$ thay đổi trên cung lớn $AB$ , tìm vị trí của $D$ để diện tích tam giác $MDF$ là lớn nhất.

Câu 6

1,0 điểm

1)
Hình 1 mô tả ba địa điểm nằm ở ba vị trí là ba đỉnh của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Do điều kiện thực tế không đo được trực tiếp khoảng cách từ $B$ đến $C$ , nhưng đo được $AB = 200$ m và $\widehat{ABC} = 30^{\circ}$ . Tính khoảng cách $BC$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Hình 1
2)
Trường THCS X đang khảo sát để làm một vườn thực nghiệm hình chữ nhật $MNPQ$ trên khu đất dạng tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nằm ở góc khuôn viên nhà trường (như hình 2), với $AB = 6$ m, $AC = 8$ m. Biết chi phí làm mỗi mét vuông vườn thực nghiệm là $1,2$ triệu đồng, hỏi nhà trường cần chi phí bao nhiêu triệu đồng để diện tích khu vườn làm được là lớn nhất?
Hình 2

HẾT