Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Vinh, Nghệ An

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $a+1$ và $b+2025$ đều chia hết cho $6$ . Chứng minh rằng $M = 4^{n} + a + b$ chia hết cho $6$ (với $n \in \mathbb{N}^{*}$ )
b)
Chứng minh rằng với mọi $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ thì $A = n^{4} + 4^{n}$ là hợp số.

Câu 2

3,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{x-4}{x^{3}-1} - \dfrac{1}{1-x}\right) : \left(1 + \dfrac{8-x}{x^{2}+x+1}\right)$ với $x \neq 1$
1. a)
  Rút gọn biểu thức $A$ .
2. b)
  Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị là một số nguyên.
2)
Cho $x, y, z$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x^{2} - yz = \dfrac{3y^{2}}{2}; y^{2} - zx = \dfrac{3z^{2}}{2}; z^{2} - xy = \dfrac{3x^{2}}{2}$ .

Tính giá trị của biểu thức $P = \left|\dfrac{2024xyz}{x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y}\right|$

Câu 3

3,0 điểm

a)
Biết đa thức $P(x)$ chia cho $(x-1)$ dư $1$ , $P(x)$ chia cho $(x^{3}+1)$ dư $x^{2}+x+1$ . Tìm đa thức dư của phép chia đa thức $P(x)$ cho đa thức $(x-1)(x^{3}+1)$ .
b)
Giải phương trình $(x-3)(x-5)(x-6)(x-10) - 24x^{2} = 0$ .
c)
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 2024$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}} + \dfrac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}} + \dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$

Câu 4

3,0 điểm

1)
Một người mua một căn hộ chung cư dành cho người có thu nhập thấp với giá $500$ triệu đồng. Người đó trả trước số tiền là $100$ triệu đồng, số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng số tiền còn nợ là $0,5\%$ mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau mỗi tháng người đó trả số tiền cố định là $4$ triệu đồng.
1. a)
  Tính số tiền người đó còn nợ sau $3$ tháng.
2. b)
  Với việc trả góp như trên, hỏi sau $1$ năm người đó còn nợ bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
2)
Trong một hộp kín có $6$ viên bi đỏ, $4$ viên bi xanh, $8$ viên bi vàng (có kích thước và hình dạng như nhau chỉ khác màu sắc). Lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ trong hộp.
1. a)
  Tính xác suất lấy được viên bi mỗi màu.
2. b)
  Thêm vào hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng sao cho xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi. Cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu?

Câu 5

8,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có ba đường cao $AD, BE$ và $CF$ đồng quy tại $H$ . Điểm $I$ là giao điểm của $BE$ và $DF$ .

a)
Chứng minh tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $AEF$ .
b)
Chứng minh $IH.BE = BI.HE$ .
c)
Vẽ $AK$ vuông góc với $EF$ $(K \in EF)$ . Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $EF$ và $DK$ . Chứng minh $A, P, Q$ thẳng hàng.

Câu 6

1,0 điểm

Một con Robot di chuyển trên một mặt phẳng tọa độ, chỉ đi qua các điểm nguyên (điểm có hoành độ và tung độ đều là số nguyên) theo nguyên tắc sau: Từ điểm $(x, y)$ con Robot chỉ có thể di chuyển đến bất kì điểm nào đó trong số các điểm $(y, x); (3x, -2y); (-2x, 3y); (x+1, y+4); (x-1, y-4)$ . Ban đầu con Robot đang ở điểm $A(2023;2024)$ hỏi con robot có thể di chuyển đến gốc tọa độ $O(0,0)$ được hay không?