Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 8 đợt 1 năm 2025–2026 — Trường THCS Lâm, Văn, Kiều, Nghệ An

Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên thỏa mãn $5\left(a^{3} + b^{3}\right) = 13\left(c^{3} + d^{3}\right)$.

Chứng minh rằng: $a + b + c + d$ chia hết cho $6$

Hai đội cờ thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải đấu $1$ ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng $4$ lần tổng số đấu thủ của hai đội và có ít nhất một đội có số đấu thủ là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ.

Tìm $x$, biết: $(3x - 8)^{3} + (5 - 2x)^{3} = (x - 3)^{3} + (x - 3)(17x^{2} + 1934x - 1906)$

Thu gọn biểu thức: $P = \dfrac{1}{x^{2} - x} + \dfrac{1}{x^{2} - 3x + 2} + \dfrac{1}{x^{2} - 5x + 6} + \dfrac{1}{x^{2} - 7x + 12} + \dfrac{1}{x^{2} - 9x + 20}$ (với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 2; x \neq 3; x \neq 4; x \neq 5$).

Tìm các giá trị của $x$ nguyên để $x.P$ đạt giá trị nguyên.

Chứng minh rằng: $\Delta BED \sim \Delta BCH$.

Chứng minh: $BC^{2} = BH.BE + CH.CF$ và $HM = HN$

Gọi $I, J, Q, K$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $F$ lên $AC, AD, BE, BC$. Chứng minh rằng $4$ điểm $I, J, Q, K$ thẳng hàng.